第二章 §2.11 函数的零点与方程的根（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.11　函数的零点与方程的根 课标要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 知识梳理 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 常用结论 若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　×　) (3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　×　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(　×　) 2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A．y＝2x B．y＝(x－2)2 C．y＝x＋－3 D．y＝ln x 答案　B 解析　对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点． 3．(2023·太原模拟)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　C 解析　函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝>0， f(3)＝－log23＝1－log23<0， 所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内． 4．函数f(x)＝的零点是________． 答案　1，－2 解析　根据题意，函数f(x)＝ 若f(x)＝0，即或 解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2. 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)(2023·忻州模拟)函数f(x)＝log3(2x＋4)－的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 答案　B 解析　由题可知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 且f(－1)＝log32－1<log33－1＝0， f(0)＝log34－>log33－＝>0. 所以f(－1)f(0)<0， 则由函数零点存在定理得，f(x)的零点所在的区间是(－1,0)． (2)用二分法求函数f(x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1,0)内的零点近似值，至少经过________次二分后误差不超过0.05(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵开区间(－1,0)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后误差不超过0.05. 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1　(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 答案　A 解析　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)函数f(x)＝log2x＋2x－6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且n∈N，则n＝________. 答案　2 解析　函数f(x)＝log2x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增， f(2)＝log22＋22－6＝－1<0， f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0， 即f(2)f(3)<0， 因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2. 题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)若函数y＝f(x)，x∈R满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝log4|x|的图象的交点的个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　由题意得f(x)是以2为周期的偶函数， 作出y＝f(x)与y＝log4|x|的函数图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有6个交点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 跟踪训练2　(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点， 即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝x的解， 即y＝|log2x|与y＝x图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝x有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2. (2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________． 答案　6 解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[－6,6]． 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6,6]， 所以x的取值为－，－，，. 故f(x)共有6个零点． 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例3　(2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(0，＋∞) C. D．(0,2] 答案　D 解析　如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x， 由k－x＝x2＋2x＋2可得， x2＋3x＋2－k＝0， Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－， 故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切； 当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)， 且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点； 当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)， 且与f(x)的图象有3个不同的交点． 由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点． 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例4　函数f(x)＝2x－－a的零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 答案　A 解析　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的零点在区间(1,2)内，得f(1)f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0，解得0<a<3. 思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 跟踪训练3　(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,4) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1) 答案　A 解析　作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示， g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点， 所以实数a的取值范围为(0,4)． (2)(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－ B．a<－ C．－<a<－ D．a<－ 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意； 当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增， 此时函数f(x)在上单调递增； 当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减， 此时函数f(x)在上单调递减． 因为函数f(x)在区间上有零点， 所以f f(1)<0， 即3(4a＋3)<0，解得a<－. 课时精练 一、单项选择题 1．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是(　　) 答案　C 解析　由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C. 2．(2023·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案　B 解析　由于y＝ln x，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递减，故函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝ln x＋2x－5在(2,3)内有唯一零点． 3．(2023·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(误差不超过0.05)为(　　) x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.562 5 B．0.593 75 C．0.687 5 D．0.75 答案　B 解析　易知f(x)在[0,1]上单调递增， 由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0， 且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1， ∴函数f(x)的零点的一个近似值为0.593 75. 4．若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，e2) B．(1,2) C．(1，e2＋1) D. 答案　C 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－a， ∴f(x)在(1，e)上单调递增． 又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0， 即解得1<a<e2＋1. 故实数a的取值范围为(1，e2＋1)． 5．函数f(x)＝的零点之和为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　A 解析　函数f(x)＝ 当x>0时，f(x)＝6x－2，设其零点为x1， 则满足－2＝0，解得x1＝log62； 当x≤0时，f(x)＝x＋log612，设其零点为x2， 则满足x2＋log612＝0，解得x2＝－log612， 所以f(x)的零点之和为x1＋x2＝log62－log612＝－1. 6．(2024·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N+)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道＝2.236 067…，令<<，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即<<，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为(　　) A．五 B．四 C．三 D．二 答案　A 解析　第一次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第二次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第三次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第四次用“调日法”后得<<，不符合题意； 第五次用“调日法”后得<<，<0.01， 符合题意， 即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五． 二、多项选择题 7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝ C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2) 答案　BCD 解析　对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4， ∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确； ∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数， 且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确． 8．(2024·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值可以是(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．1 答案　BC 解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 设与y＝4－x2(x≤2)相切的直线为l， 且切点为P(x0,4－x)，x0≤2， 因为y＝4－x2(x≤2)的导函数y′＝－2x， 所以切线l的斜率k′＝－2x0， 则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)， 因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上， 将(3,0)代入切线方程解得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，所以切线l的斜率k′＝2－6， 因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点， 所以实数k的取值范围为(2－6,0)． 三、填空题 9．(2024·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． 答案　(1,2) 解析　令f(x)＝x3＋x－5， 则f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0， 由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2)． 10．(2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝x＋x3，g(x)＝x＋3x，h(x)＝x＋log3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为________． 答案　x3>x1>x2 解析　依题意令f(x)＝x＋x3＝0，得x3＝－x， 同理可得3x＝－x，log3x＝－x， 则函数的零点转化为y＝x3，y＝3x，y＝log3x与y＝－x的图象交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示． 由图可得x1＝0，x2<0，x3>0，即x3>x1>x2. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b.求证： (1)a＞0且－3＜＜－； (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点． 证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－， ∴c＝－a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b， ∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b. 若a＞0，则－3＜＜－； 若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立； 若a＜0，则＜－3，＞－，不成立． 综上，a＞0且－3＜＜－. (2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0. 当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0， ∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点； 当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0， ∴f(x)在(0,2)内有一个零点； 当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点．综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点． 12．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋aln(1－x)(a∈R)的图象关于原点对称． (1)求a的值； (2)若g(x)＝ef(x)－有零点，求m的取值范围． 解　(1)由函数的解析式可得 解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1,1)． 由题意可得，函数f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即ln(1－x)＋aln(1＋x)＝－[ln(1＋x)＋aln(1－x)]， 即(1＋a)ln(1－x)＋(a＋1)ln(1＋x)＝0， 故(1＋a)ln(1－x2)＝0在(－1,1)上恒成立， 所以1＋a＝0，解得a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln ， 由题意可得ef(x)－＝0在x∈(－1,1)上有解， 即＝在x∈(－1,1)上有解， 即3x＝－2m－1在x∈(－1,1)上有解， 所以x＝－m－∈(－1,1)， 即－1<－m－<1，解得－2<m<1， 所以m的取值范围是(－2,1)． 13．(多选)(2023·衡水检测)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1 答案　BCD 解析　作出函数f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1<x2<0； 当y＝1时，由|log2x|＝1，得x＝或x＝2， 所以<x3<1<x4<2； 由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|， 即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1， 则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)． 14．已知函数f(x)＝(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________． 答案　(2,4]∪(5，＋∞) 解析　作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示， 依题意f(x)＝有2个零点， 由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $