第二章 §2.5 函数性质的综合应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.5　函数性质的综合应用 重点解读　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 题型一　函数的奇偶性与单调性 例1　(2024·德宏质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若∀x∈(－∞，0]，且x1≠x2，>0，则不等式a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0的解集为(　　) A. B．(－1,1) C. D．(0,1) 答案　A 解析　因为f(x)为奇函数， 所以xf(x)是定义在R上的偶函数， 由题意可知xf(x)在(－∞，0]上单调递增， 则xf(x)在(0，＋∞)上单调递减， 设g(x)＝xf(x)，a2f(a2)－(a－1)f(a－1)>0⇔a2f(a2)>(a－1)f(a－1)⇔g(a2)>g(a－1)， 所以a2<|a－1|，即 解得<a<. 思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 跟踪训练1　(2023·邯郸模拟)已知y＝f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)单调递减，且f(2)＝0，则≥0的解集为________． 答案　(－∞，－3]∪(0,1] 解析　由题意知函数f(x)在(－∞，0]上单调递增且为偶函数， 由f(2)＝0得f(－2)＝0，作出f(x)的辅助图并向左平移一个单位长度， 如图所示， 因为≥0， 所以⇒0<x≤1，或 ⇒x≤－3. 故≥0的解集为(－∞，－3]∪(0,1]． 题型二　函数的奇偶性与周期性 例2　(2023·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则(　　) A．f(6)<f(－7)<f  B．f(6)<f <f(－7) C．f(－7)<f <f(6) D．f <f(－7)<f(6) 答案　B 解析　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f(－7)＝f(1)，f ＝f ＝－f ＝f ， 又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增， ∴f(0)<f <f(1)， 即f(6)<f <f(－7)． 思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 跟踪训练2　(2023·石家庄模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案　D 解析　∵f(x＋1)为偶函数， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， 令t＝x＋1，则－x＋1＝2－t，即f(t)＝f(2－t)， ∵f(x)为奇函数，∴f(t)＝－f(－t)， ∴f(2－t)＝－f(－t)， 令m＝－t，得f(2＋m)＝－f(m)， ∴f(4＋m)＝－f(2＋m)＝f(m)， ∴f(4＋x)＝f(x)， 即函数f(x)是周期为4的周期函数， 又f(1)＝2，f(0)＝0， 则f(2 023)＋f(2 024)＝f(506×4－1)＋f(506×4)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2. 题型三　函数的奇偶性与对称性 例3　(2023·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1,0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 答案　B 解析　构造函数g(x)＝xf(x)， 该函数的定义域为R， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点． 对于A选项，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的 对称中心为(1,0)； 对于B选项，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)； 对于C选项，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0,1)； 对于D选项，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)． 思维升华　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 跟踪训练3　若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称 C．在区间(2,3)上，f(x)单调递减 D．f >f  答案　C 解析　f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2) ＝－f(2－x)＝－f(x)， 即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称， ∵f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A，B错误； 根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增， ∵f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2,0)中心对称， 则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确； 又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4， 则f ＝f <f ，故D错误． 题型四　函数的周期性与对称性 例4 (多选)(2024·昆明模拟)已知定义域为R的非常数函数f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(x)的周期T＝2 C．f(x)为奇函数 D．f(x)为偶函数 答案　AC 解析　由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)的图象的对称轴为直线x＝1， 所以f(0)＝f(2); 由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)， 又图象关于点(2,0)对称， 即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)， 所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)， 所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的一个周期为4； 又f(4＋x)＝－f(－x)且T＝4， 所以f(x)＝f(4＋x)＝－f(－x)， 所以f(x)为奇函数． 思维升华　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 跟踪训练4　(多选)(2023·盐城模拟)已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 023)＝0 C．g(x)的最小正周期为4 D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x) 答案　ABD 解析　因为f(x)为R上的奇函数， 且g(x)＝f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴， 所以直线x＝－1也是对称轴， 所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确； 由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)， 故f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是一个周期为4的周期函数， 则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确； 但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误． 课时精练 一、单项选择题 1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 023.5)等于(　　) A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75 答案　D 解析　由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75. 2．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则函数f(x)(　　) A．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B．在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D．在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 答案　B 解析　∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0,1]上单调递增， 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(2－x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为2的函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增． 3．(2023·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上单调递增，则(　　) A．f(－5.3)<f(5.5)<f(2) B．f(－5.3)<f(2)<f(5.5) C．f(2)<f(－5.3)<f(5.5) D．f(5.5)<f(2)<f(－5.3) 答案　B 解析　根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)， 则有f(2－x)＝－f(－x)， 变形可得f(x＋2)＝－f(x)， 则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数， 易得f(x)的对称轴为直线x＝1， 因为f(x)在(－1,1)上单调递增， 所以f(x)在(1,3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)， f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)， 因为1<1.5<2<2.7<3， 所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)， 即f(－5.3)<f(2)<f(5.5)． 4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2,4)时，f(x)＝，若＝f(－1)，则m等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以f(x)为奇函数， 因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)， 故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)＝f(1)， 而f(－1)＝－f(1)， 所以由＝f(－1)可得f(1)＝， 而f(1)＝－f(3)＝ 解得m＝－. 5．已知函数f(x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．f(x－1)＋cos x B．f(x＋1)＋sin x C．f(x－1)＋sin x D．f(x＋1)＋cos x 答案　C 解析　因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R， 且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， 故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称， 函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称， 又函数y＝sin x的图象关于直线x＝1对称， 因此函数f(x－1)＋sin x的图象关于直线x＝1对称． 6．已知偶函数f(x)的图象经过点(－1，－3)，且当0≤a<b时，不等式<0恒成立，则使得f(x－1)＋3<0成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(0,2) 答案　A 解析　由题意可知，f(x)为偶函数， 且经过点(－1，－3)， 所以点(1，－3)也在函数f(x)的图象上， 即f(1)＝－3， 因为0≤a<b，所以b－a>0， 当0≤a<b时，不等式<0恒成立， 所以f(b)－f(a)<0，即f(b)<f(a)， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 因为f(x－1)＋3<0，所以f(x－1)<－3， 即f(x－1)<f(1)， 因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以|x－1|>1，解得x>2或x<0. 所以使得f(x－1)＋3<0成立的x的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 二、多项选择题 7．(2024·兰州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．f(x)在[0,1]上单调递增 C．f(x)在[1,2]上单调递减 D．f(2)＝f(0) 答案　AD 解析　根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)， 则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数， 则有f(2)＝f(0)，故D正确； 若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数， 则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； 因为f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数， 则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误； 又f(x)是周期为2的周期函数， 则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误． 8．(2023·邯郸模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D．f ＝－ 答案　ACD 解析　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)， 所以f(1)＝0，A正确； 因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ， 所以f(0)＝－cos 0＝－1， 因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)， 所以2不是f(x)的周期， 故B错误； 因为f(x＋1)为奇函数， 所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称， 所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0， 可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)为周期函数，周期为4， 所以f ＝f  ＝f ＝f ， 又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ， 所以f ＝－cos ＝－，D正确． 三、填空题 9．写出一个同时满足以下三个条件：①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式：________. 答案　f(x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一) 10．(2023·绍兴模拟)已知函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＋f(1－x)＝2，则f(4)＝________. 答案　1 解析　因为函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(1－x)＝f(x＋1)， 又f(x＋3)＋f(1－x)＝2， 所以f(x＋3)＋f(x＋1)＝2， 即f(x＋2)＝－f(x)＋2，f(x＋4)＝－f(x＋2)＋2＝f(x)， 则函数f(x)的一个周期为4， 取x＝0，则f(2)＋f(0)＝2f(2)＝2⇒f(2)＝f(0)＝1， 所以f(4)＝f(0)＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $