第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第四章 §4.2　同角三角函数基 本关系式及诱导公式 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_______________. sin2α＋cos2α＝1 (2)商数关系：____________________________. 知识梳理 5 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) －α π＋α π－α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α     余弦 cos α cos_α －cos_α －cos_α sin_α －sin_α     －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α sin α －cos α cos α sin α cos α －sin α 知识梳理 6 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) －α π＋α π－α 正弦 sin α ______ ______ ______ _____ ______     余弦 cos α ______ ______ ______ _____ ______     正切 tan α ______ ______     口诀 奇变偶不变，符号看象限 2.三角函数的诱导公式 －sin α cos α tan α －sin α －tan α sin α －cos α cos α sin α cos α －sin α －cos α －tan α 知识梳理 7 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 常用结论 × × × × 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α.(　　) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) 自主诊断 √ 2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是 A.sin(－x)＝sin x √ 自主诊断 sin(－x)＝－sin x，故A不成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立. 自主诊断 √ 自主诊断 自主诊断 13 返回 自主诊断 14 第二部分 探究核心题型 题型一　同角三角函数基本关系式 例1　(1)(2023·宝鸡模拟)已知sin α＋cos α＝3cos αtan α，则cos αsin α等于 √ 因为sin α＋cos α＝3cos αtan α， √ √ √ ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， 故D正确； (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 ＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如 ，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦 化切. (3)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α ±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 思维升华 √ ∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α 即cos α－sin α<0， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 题型二　诱导公式 √ √ 诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 思维升华 跟踪训练2　(1)化简： 等于 A.－sin θ B.sin θ C.cos θ D.－cos θ √ √ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3　(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋ 6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 √ 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 即5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ， 即2tan2θ－5tan θ－3＝0， (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响. 思维升华 √ (2)已知关于x的方程 －sin(2 025π＋x)－2－a＝0有实数解， 则实数a的取值范围为___________. 则f(x)＝cos2x＋sin x－2＝－sin2x＋sin x－1， 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 √ 知识过关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.3 B.－3 C.1 D.－1 √ 由角α的终边在第三象限， 得sin α<0，cos α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密.下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等.则根据该表，416.5°的余弦值为 A.0.546 1 B.0.551 9 C.0.550 5 D.0.573 6   0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 0° 0.000 0 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736 …… √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意查表可得 sin 33.5°＝sin 33°30′＝0.551 9， 可得cos 416.5°＝cos(360°＋56.5°)＝cos 56.5° ＝sin(90°－56.5°)＝sin 33.5°＝0.551 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2024·北京模拟)已知cos α＝ ，α是第一象限角，且角α，β的终边关于 y轴对称，则tan β等于 √ ∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z， ∴tan β＝tan(π－α＋2kπ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 7.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它 们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由三角函数的定义可得， 因为α，β为锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知sin θcos θ＝ <θ<2π，则 A.θ的终边在第三象限 B.sin θ＋cos θ＝ C.sin θ－cos θ＝0 D.tan θ＝－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以θ为第三象限角，故A正确； 由题意得sin θ<0，cos θ<0，故B错误； 因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0， 故sin θ－cos θ＝0，故C正确； 结合C可知tan θ＝1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.(2023·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝______. 由sin α＝2cos α，得tan α＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝ ；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题. 已知第四象限角α满足________，求下列各式的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若选择条件①： ∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)， ∴4sin α＝－3cos α， 若选择条件②： ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若选择条件③： ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又∵α，β的终边关于x轴对称， ∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β. 又∵4sin β＝3cos β， ∴－4sin α＝3cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)sin2α＋3sin αcos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由－π<x<0知，sin x<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α . ＝tan α －α ＋α －α ＋α － －α ＋α －α ＋α (2)sin α＝tan αcos α. (2)若sin(2kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) (4)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　) B.sin＝cos x C.cos＝－sin x D.cos(x－π)＝－cos x sin＝－cos x，故B不成立； cos＝－sin x，故C成立； 3.若sin α＝，<α<π，则tan α等于 A.－2 B.2 C. D.－ ∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－. 4.已知cos α＝，－<α<0，则的值为______. 则＝＝－＝＝. 因为－<α<0， 所以sin α＝－＝－， 所以tan α＝－2. A. B. C. D. 所以sin α＋cos α＝3sin α，所以tan α＝， 所以cos αsin α＝＝＝. (2)(多选)(2023·天津模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则 A.θ∈ B.cos θ＝－ C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝ ∵sin θ＋cos θ＝， ① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝－， ∴θ∈，故A正确； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝， ② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确； tan θ＝＝－，故C错误. 跟踪训练1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为 A. B.± C.－ D.－ ∵sin αcos α＝， ＝1－2×＝， ∵<α<，∴cos α<sin α， ∴cos α－sin α＝－. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝_______. － 因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝， ∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×2－1＝. 例2　(1)(2024·安康模拟)若sin(π＋α)＝－，则cos(π－2α)等于 A. B.－ C. D.－ 因为sin＝， 所以cos＝sin＝sin＝. (2)已知sin＝，则cos等于 A. B. C.－ D.－ 因为cos＝－， 所以sin＝sin＝cos＝－. 延伸探究　若把本例(2)中条件换为“cos＝－”，那么sin 的值为______. － 原式＝＝＝－sin θ. cos＝cos＝－cos＝－. (2)已知cos＝，则cos等于 A.－ 　　　B.－ C. D.  A. B. C. D. 由已知得 化简得sin2α＝， 又α为锐角，∴sin α>0，则sin α＝. (2)(2023·黄山统考)若角θ为第四象限角，且sin θcos θ－sin2θ＝－，则 tan(k∈Z)＝__________. －或2 由sin θcos θ－sin2θ＝－， 得＝＝－， 解得tan θ＝－或tan θ＝3， 又角θ为第四象限角，则tan θ＝－， 当k＝2m(m∈Z)时，tan＝tan(mπ＋θ)＝tan θ＝－； 当k＝2m－1(m∈Z)时，tan ＝tan＝tan＝－＝2， 所以tan＝－或tan＝2. 跟踪训练3　(1)(2024·榆林模拟)已知tan(α－π)＝，则等于 A. B.3 C.－ D.－3 由tan(α－π)＝，解得tan α＝， 则＝＝－tan α＝－. sin2 令f(x)＝sin2－sin(2 025π＋x)－2， 所以f(x)＝－2－， 又sin x∈[－1,1]，所以f(x)∈， 因为关于x的方程sin2－sin(2 025π＋x)－2－a＝0有实数解，  f(x)∈， 所以a的取值范围为. 1.sin 的值为 A. B.－ C.1 D.－1 sin ＝sin＝－sin ＝－1. 2.已知α∈，cos＝，则tan α等于 A.－ B. C.－ D. 由已知条件得cos＝－sin α＝， 即sin α＝－， ∵α∈， ∴cos α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝－. 故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 3.若角α的终边在第三象限，则＋等于 4.(2023·安康模拟)已知sin＝，－<θ<，则sin等于 A.－ B.－ C. D. sin＝sin＝cos， ∵－<θ<， ∴－<＋θ<，又sin＝>0， ∴cos＝＝， 即sin＝. A. B.－ C. D.－ ＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝－. ，，则 A.cos(π＋α)＝ B.cos(－β)＝ C.sin＝－  D.tan(π－β)＝ cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝，tan β＝， 所以cos(π＋α)＝－cos α＝－， cos(－β)＝cos β＝， sin＝－cos α＝－， tan(π－β)＝－tan β＝－. ， 因为sin θcos θ＝，<θ<2π， － 则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝＝ ＝＝－. cos＝cos＝－cos＝－. 10.已知cos＝，则cos＝______，sin＝______. － sin＝sin＝cos＝. 11.(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值； ∵cos＝－sin α＝－， ∴sin α＝，又α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－， 则tan α＝＝－. (2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值.  f(α)＝＝＝cos α， 由(1)知，cos α＝－， 则f(α)＝cos α＝－. (1)； ∴tan α＝－. 又sin α＋cos α＝， ∴2＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝－， ∴tan α＝－. 即tan α＝－. ＝＝＝1. sin2α＋3sin αcos α＝＝ ＝＝－. 13.已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为 A.2 B. C.1 D.2 因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈， 所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2， 当且仅当tan β＝时，等号成立. － 14.已知－π<x<0，sin(π＋x)－sin＝－，则的值为______. 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 由已知得sin x＋cos x＝， 整理得2sin xcos x＝－， ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 又sin xcos x＝－<0，∴cos x>0， ∴＝＝ ＝＝－. ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－. $