第四章 §4.5 三角函数的图象与性质（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第四章 §4.5　三角函数的图象与性质 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ，(2π，1). (π，0) (π，－1) 知识梳理 5 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象       定义域 R R _____________ 知识梳理 6 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 值域 _______ _______ R 周期性 ____ ____ ___ 奇偶性 ________ ________ 奇函数 单调递 增区间 ________________ _____________ _______________ [－1,1] [－1,1] 2π 2π π 奇函数 偶函数 [2kπ－π，2kπ] 知识梳理 7 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调递减区间 __________________ _____________   对称中心 ________ __________ 对称轴方程 __________ _______   [2kπ，2kπ＋π] (kπ，0) x＝kπ 知识梳理 8 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期. 常用结论 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z). (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点.(　　) (2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋ (k∈Z).(　　) (3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期.(　　) (4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.(　　) × × × × 自主诊断 2.(多选)已知函数f(x)＝ (x∈R)，下列结论正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间 上单调递增 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D.函数f(x)是奇函数 √ √ √ 自主诊断 由题意得f(x)＝－cos x， 对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误. 自主诊断 √ 自主诊断 自主诊断 返回 5 自主诊断 16 第二部分 探究核心题型 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝ 的定义域为 √ √ 因为0≤x≤9， 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域. (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. 思维升华 √ (2)函数f(x)＝cos 2x＋ 的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ ＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x 又sin x∈[－1,1]， 所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5. 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2　(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π √ √ f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sin xcos x (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式. (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的 周期为 ，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为 求解. 思维升华 (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝ ＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横 坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ，求x即可.对 于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可. 思维升华 √ √ √ A中，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； 题型三　三角函数的单调性 √ 命题点1　求三角函数的单调区间 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 延伸探究　若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间. 命题点2　根据单调性求参数 √ (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 思维升华 √ (2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是 √ 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝ ，则f(x)在[－2,0]上 A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 √ ∵x∈[－2,0]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以a>b>c. 4.(2023·怀化模拟)函数f(x)＝|sin x|＋cos x是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 √ ∵函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R， 且f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x) ＝|－sin x|＋cos x ＝|sin x|＋cos x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又因为ω∈N*，所以ω＝3， 又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2024·株洲模拟)下列关于函数f(x)＝cos x＋asin x(a≠0)的说法正确的是 A.存在a，使f(x)是偶函数 B.存在a，使f(x)是奇函数 C.存在a，使f(x＋π)＝f(x) D.若f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则a＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a＝0时，f(x)＝cos x为偶函数，故A正确； 对于B，无论a取何值，函数f(x)＝ sin(x＋θ)都不可能为奇函数，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝____________________. －cos 4x(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则f(x)＝－cos 4x满足题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴， 所以函数f(x)的最小正周期为3π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得m＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以－3≤f(x)≤0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2023·新乡模拟)已知函数f(x)＝ (a>0)，且满足________. 从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离 等于π；③f(x)的图象过点 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期； 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π， 所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z， 因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 在上的性质. ， ， {x|x≠kπ＋} x＝kπ＋ sin 对于A，T＝＝2π，故A正确； 对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确； 3.函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是 A. B.，k∈Z C.，k∈Z  D.，k∈Z 令2x－＝，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是，k∈Z. 4.函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝________________. 函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). ＋2kπ(k∈Z) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.R 由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z). (2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 A.2－ B.0 C.－1 D.－1－ 则－≤－≤， 所以sin∈. 即y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－. 跟踪训练1　(1)函数y＝tan的定义域是 A. B. C. D. ∴函数y的定义域是. 函数y＝tan＝－tan， 令x－≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z， 6cos 因为f(x)＝cos 2x＋6cos ＝－22＋， B.点是y＝f(x)图象的对称中心 C.点是y＝f(x)图象的对称中心 D.直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 则函数关于点对称，故B错误； ＝－sin 2x＝－sin＋， T＝＝π，故A正确； 当x＝－时，2x＋＝0，此时sin＝0， 则函数关于直线x＝对称，故D正确. 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝1， 则函数关于直线x＝对称，故C错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝－1， 又因为φ∈，所以当k＝0时，φ＝符合题意. (2)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为______. 由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 跟踪训练2　(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是 A.y＝cos|2x|  B.y＝|cos x| C.y＝cos D.y＝tan C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π； D中，y＝tan的最小正周期T＝. (2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝______. 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 其图象关于直线x＝对称， 则 ∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝， 故f(x)＝2sin， 则f ＝2sin＝. 例3　(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则 A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增 对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确； 对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝ cos 2x在上不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确； 对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确. (2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________________________. ，k∈Z  f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 令A＝，k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 例4　已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在 上有最小值，那么φ的取值范围是 A. B. C. D. 当x∈时，2x－φ∈， 由x∈，可得2x－φ∈， 又由0<φ<，且f(x)在上单调递增， 可得－φ≤，所以≤φ＜. 所以φ<.综上，≤φ<. 由f(x)在上有最小值，可得－φ>， 跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区 间是 A. B. C. D. 又x∈， ∴f(x)在上的单调递减区间为. 由已知f(x)＝cos， 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， A. B. C. D.π 所以a的最大值是.  f(x)＝cos x－sin x＝cos， 由题意得a>0，因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减， 所以解得0<a≤， 1.若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于 A.1 B.2 C.3 D.4 因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为， 所以＝，则T＝π， 所以T＝＝π，解得ω＝1. ∴2x－∈， cos ∵－<－4－<－π<－<0， ∴函数f(x)＝cos在[－2,0]上先减后增. 3.已知函数f(x)＝2cos，设a＝f ，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大小关系是 b＝f ＝2cos ， a＝f ＝2cos ， c＝f ＝2cos ， 又0<<<<π， 5.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线  x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f 等于 A.－ B.－ C. D. 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 则f(x)＝sin，则f ＝sin＝. 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 6.(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin＋b(ω∈N*)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为 A. B. C. D. 由函数的最小正周期T满足<T<π， 得<<π，解得2<ω<4， 所以f(x)＝sin＋b， 所以f(x)＝sin＋2， 令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， 所以对称中心为(k∈Z)，只有C符合题意(k＝2). 7.已知函数f(x)＝sin在区间[－a,0]上单调递增，则实数a的值可 能为 A. B. C. D. 又函数f(x)＝sin在区间[－a,0]上单调递增， ∴－≤－a<0，即0<a≤， ∴实数a的可能值为，. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 取k＝0，可得f(x)在区间上单调递增， 函数f(x)＝cos x＋asin x＝sin(x＋θ)， 其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈(0，π)， 对于C，f(x＋π)＝sin(x＋π＋θ)＝－sin(x＋θ)≠f(x)，故C错误； 对于D，当x＝时，函数f(x)取得最大值或最小值，故＋a＝±，解得a＝1，故D正确. (k∈Z) 9.函数y＝的定义域为_________________________. 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 方法二　要使函数y＝有意义，即使sin x－cos x≥0，即sin≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即原函数的定义域为(k∈Z). ①∀x∈R，f ＝f(x)； ②∀x∈R，f(x)≤f 恒成立. 由∀x∈R，f ＝f(x)可知，函数的周期为， 由∀x∈R，f(x)≤f 恒成立可知，函数在x＝处取到最大值， 一方面根据余弦函数的周期公式，T＝＝，满足∀x∈R，  f ＝f(x)， 另一方面，f ＝－cos π＝1＝f(x)max，满足∀x∈R，f(x)≤f 恒成立. 11.设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<. (1)求函数f(x)的最小正周期； 可得sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝＋(k∈Z). 又0<ω<，所以ω＝， (2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域. 由(1)知f(x)＝2sin＋m， 因为f(π)＝0，所以2sin＋m＝0， 所以f(x)＝2sin－2， 当0≤x≤时，－≤x－≤， 可得－≤sin≤1. 故函数f(x)在上的值域为[－3,0]. asin－2cos2 函数f(x)＝asin－2cos2＝asin－cos－1 ＝asin－cos－1＝asin＋sin－1 ＝(a＋1)sin－1， 若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 且f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以f(x)＝2sin－1. 若选择条件③f(x)的图象过点， 则f ＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝， 所以实数m的取值范围是. 令f(x)＝1，得sin＝1， 解得2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z. 13.(多选)(2023·西安模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f ＝－f ＝1，则 A.ω＝3 B.φ＝－ C.ω＝2 D.φ＝ 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调， 所以sin＝－sin＝1， 所以ω＋φ＝＋2k1π， 所以＝·≥－＝，所以0<ω≤2， 因为f ＝－f ＝1， ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z， 则φ＝＋2k1π，k1∈Z， 又0<|φ|<，所以φ＝. 故ω＝π＋2(k2－k1)π， 14.已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为______. ∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y) ＝cos2y－cos y－＝2－1， ∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝－cos y∈[－1,1]， ∴cos y∈，即cos y∈， 又cos y∈， 利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，sin x－sin2y取最大值， (sin x－sin2y)max＝2－1＝. $