第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第四章 §4.1　任意角和弧度 制、三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.角的概念 (1)定义：角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形. 按旋转方向不同分为 、 、 . 按终边位置不同分为 和轴线角. (2)分类 正角 负角 零角 象限角 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为－α. 知识梳理 5 (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号rad表示. {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 半径长 知识梳理 6 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝______ 弧长公式 弧长l＝____ 扇形面积公式 S＝ ＝______ |α|r 知识梳理 7 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α， ＝tan α(x≠0). (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 知识梳理 8 (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那 么sin α＝___；cos α＝___，tan α＝____(x≠0). 知识梳理 9 1.象限角 常用结论 2.轴线角 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　) (4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角.(　　) × √ × × 自主诊断 √ 自主诊断 3.已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于 √ 自主诊断 4.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了______弧度. －4π 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　角及其表示 例1　(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则 A.－α是第一象限角 B. 是第三象限角 C. ＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 √ 对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确. 微拓展 终边所在位置 若θ分别为第一、二、三、四象限角，则 的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示. 典例　已知θ为第三象限角，且 ，则角 的终边在 A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 √ (2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为_________________________________ _______. {α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°， 终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}. k∈Z} (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα， (k∈N+)的终边位置的方法 先写出kα或 的范围，然后根据k的可能取值确定kα或 的终边所在的 位置. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 A.90°－α B.90°＋α C.360°－α D.180°＋α 若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角. √ (2)－2 025°角是第_____象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是______，最大负角是________. 二 135° －225° 因为－2 025°＝－6×360°＋135°， 所以－2 025°角的终边与135°角的终边相同. 所以－2 025°角是第二象限角，与－2 025°角终边相同的最小正角是135°. 又135°－360°＝－225°， 故与－2 025°角终边相同的最大负角是－225°. 题型二　弧度制及其应用 例2　(1)已知一扇形的圆心角α＝ ，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为 _____ cm，面积为______ cm2. 延伸探究　若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积. (2)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径为_____. 3 设半径为r，扇形弧度为α，则周长为(2＋α)r， ∵扇形面积为定值9， 当且仅当r＝3时，等号成立，∴所求半径为3. 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)(2023·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有 A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 √ √ √ 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 √ 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 作OM⊥AB，垂足为M， 题型三　三角函数的概念 例3　(1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为 始边，终边与单位圆交于点 ，则cos 2α等于 √ ∵在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边， (2)sin 2·cos 3·tan 4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 √ 所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 思维升华 跟踪训练3　(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝ 则m的值为 √ (2)(2023·济宁统考)若cos α·tan α<0，则角α的终边在 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 √ 因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限. 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－ 是第四象限角 B. 是第二象限角 C.－400°是第一象限角 D.－315°是第一象限角 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C中，－400°＝－360°－40°，则－400°是第四象限角，故C错误； D中，－315°＝－360°＋45°，则－315°是第一象限角，故D正确. 知识过关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 3.已知角θ的终边上任一点P(2a＋3，a－1)，若角θ为第四象限角，则a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2023·衡阳模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2023·德州统考)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重 合.若角α的终边落在直线x＋3y＝0上，则 的值等于 √ 角α的终边落在直线x＋3y＝0上， 所以角α在第二象限或第四象限， 当角α在第二象限时，sin α>0， 当角α在第四象限时，sin α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 7.已知角θ的终边经过点(－2，－ )，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2024·昆明模拟)下列说法正确的是 A.角θ的终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin θ·cos θ<0 B.若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于 C.经过4小时，时针转了120° D.若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有α＋β＝ ＋2kπ，k∈Z √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于B，因为圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为 ，故B正确； 对于C，钟表上的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转 －360°÷12＝－30°，所以经过4小时，时针应旋转－120°，故C错误； 对于D，若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有α＋β＝ ＋2kπ，k∈ Z，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.若α＝1 560°，角θ与角α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________. 120°或－240° 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为k·360°＋120°，k∈Z， 令k＝－1，得θ＝－240°；令k＝0，得θ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为_____ cm2. 4 设扇形半径为r cm，弧长为l cm， 当r＝2时，扇形面积最大， 所以Smax＝4(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 (1)试判断角α所在的象限； ① ∵lg cos α有意义，∴cos α>0， ② 由①②得，角α在第四象限. 又α是第四象限角，即m<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.如图，在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动. (1)若点B的横坐标为－ ，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若α∈ ，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(多选)(2023·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是 A.若∠AOB＝α，则 ＝α B.若y1＝sin x0，则x1＝x0 C.若y1＝sin x0，则 ＝x0 D.若 ＝ x0，则y1＝sin x0 √ √ 能力拓展 由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有 ＝1·α＝α，所以A正确； 由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点， 则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B错误； 当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误； 反过来，当∠AOB＝x0，即 ＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2024·兰山模拟)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等 分△POB的面积，且∠AOB＝α，则 ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在Rt△POB中，PB＝rtan α， 即tan α＝2α， 返回 |α|r2 ° lr 3.若角α∈，则sin α<α<tan α. 2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2kπ－45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z) 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确. |OP|＝＝13， A. B.－ C. D.－ ∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以 －α是第三象限角，A错误； 对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误； 对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误； ＝－sin ∵θ为第三象限角，∴为第二或第四象限角，又＝－sin ， ∴sin ≤0，∴角的终边在第四象限. 所以l＝αR＝×10＝(cm)， S扇形＝αR2＝××102＝(cm2). 由已知得α＝，R＝10 cm， S弓形＝S扇形－S三角形＝－·R2·sin  ＝－×102×＝(cm2). ∴αr2＝9，α＝， 周长为2r＋， 由基本不等式得2r＋≥2＝12， 则由题意得解得或 A. 　　　 B. C.3 D. 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝. P A.－ B.± C. D. 终边与单位圆交于点P， ∴sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－. 因为<2<3<π<4<， －， A.－ B.－ C. D. 由题意得点P(－8m，－3)，r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m>0，解得m＝. A中，－是第三象限角，故A错误； B中，＝π＋，则是第三象限角，故B错误； 2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 A. B. C. D. 点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知，点Q的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝. 因为角θ的终边在第四象限，则解得－<a<1. A.(1，＋∞) B. C.  D.(－∞，1) 4.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于 A.－ B.± C.－ D.± 由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±. 当y＝时，sin α＝，tan α＝－， 此时sin α·tan α＝－； 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝， 此时sin α·tan α＝－. 综上，sin α·tan α＝－. 依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)， B.问题[三四]中扇形的面积为 平方步 C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D.问题[三四]中扇形的面积为 平方步 问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝(平方步). A.3或－3 B.或－ C.3或－ D.－3或 所以tan α＝－，因为＝， 所以＝＝＝tan α＝－； 所以＝＝－＝－tan α＝. A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点(tan θ，sin α)在第一象限 角θ的终边经过点(－2，－)，则sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确. 对于A，sin θcos θ<0⇔或⇔角θ的终边在第二象限或第四象限，故A正确； 则2r＋l＝8(0<r<4)，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4， 11.(2023·天水统考)已知＝－，且lg cos α有意义. ∵＝－，∴sin α<0， 由三角函数定义知sin α＝－. (2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值. ∵点M在单位圆上， ∴2＋m2＝1，解得m＝±， ∴m＝－， 由题意知，若点B的横坐标为－， ∴sin α＝， 于是α＝＋2kπ，k∈Z， 与角α终边相同的角β的集合为. 可得点B的坐标为， △AOB的高为1×cos ，AB＝2sin ， 故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α ＝(α－sin α)，α∈. 故S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α， 则△POB的面积为r2tan α， 设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2， 由题意得r2tan α＝2×αr2， 所以＝. $