第二章 §2.12 函数与方程的综合应用（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第二章 §2.12　函数与方程的综合应用 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 重点解读 例1　(1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是 A.(－5，－4]∪[4，＋∞) B.(－5，－4] C.(－5，＋∞) D.[－4，－2)∪[4，＋∞) 题型一　由零点分布求值(范围) √ 命题点1　二次函数的零点分布 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧， 根据图象得，方程的判别式Δ≥0；f(2)>0； (2)(2023·哈尔滨模拟)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为 A.－4 B.－5 C.－6 D.－7 √ 因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2， 且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3， 又m∈Z，可得m＝－4. √ 命题点2　其他函数的零点分布 令f(x)＝a，在区间(－1,0)内时，ex＝a， 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值. 思维升华 跟踪训练1　(1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 A.(－∞，0)∪(1，＋∞) B.(－1,0) √ 令g(x)＝x2－2ax＋a， 由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得 (2)(2023·邵阳模拟)已知函数f(x)＝ 若存在实数x1，x2， x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是 √ 画出f(x)的图象如图. 由题意可知－log5x1＝log5x2⇒x1x2＝1， 由图象可知x3，x4关于直线x＝10对称， 所以x3＋x4＝20，因此x1x2x3x4＝x3x4， 当存在x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a∈(0,1)时， 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例3　已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 令t＝f(x)，g(x)＝0， 则f(t)－2t＋1＝0， 即f(t)＝2t－1， 分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象， 如图所示， 由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2， 则t1＝0,1<t2<2， 对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2 的图象，如图所示， 由图象可得， 当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点， 即方程f(x)＝0有两个不相等的根， 当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根，综上可得g(x)＝0的实根个数为5， 即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5. 命题点2　根据复合函数零点求参数 √ 令g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t＝0， 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 由题意可得，方程f(x)＝t有3个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝t有3个交点， 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 思维升华 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ 且关于x的方程[ f(x)]2－ (2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为_____. (0,1] 由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不 相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1 ≤m＋1<2，解得m∈(0,1). 综上，m∈(0,1]. 课时精练 一、单项选择题 1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是 A.(0,3) B.[0,3] C.(－3,0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令f(x)＝－x2＋ax＋4， 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1， 由二次函数的图象可知， 解得0<a<3. 2.若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是 A.[0，＋∞) B.(－∞，－8] C.(－∞，－8]∪[0，＋∞) D.(－∞，－8)∪(0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令t＝3x>0，则9x＝t2， 由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0. 则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根. 当且仅当t＝2时，等号成立， 所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8. 因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]. 3.(2023·衡阳模拟)若函数f(x)＝(ln x)2－ln xa在(0,8)内有2个零点，则a的取值范围为 A.(－∞，2ln 2) B.(－∞，0)∪(0,2ln 2) C.(－∞，3ln 2) D.(－∞，0)∪(0,3ln 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 由f(x)＝(ln x)2－aln x＝ln x(ln x－a)＝0，得x＝1或x＝ea. 依题意可得0<ea<8，且ea≠1， 所以a<3ln 2，且a≠0. 4.(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝ 若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点， 则m的取值范围是 A.(－2,0)∪(0,16) B.(0,16) C.(0,2) D.(－2,0)∪(0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ f(x)的图象如图所示， 由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0， 得f(x)＝0或2f(x)－m＝0， 当f(x)＝0时，f(x)有3个零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.函数f(x)＝ 则函数y＝f(f(x))－2的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令t＝f(x)，则函数y＝f(t)－2＝0， 下面解方程f(t)＝2， 当t≤0时，由t2＋t＝2，得t＝－2或t＝1(舍去)， 当t>0时，由log2(t＋1)＝2，得t＝3. 所以f(t)＝2的两根为t1＝－2，t2＝3. 由f(f(x))＝2得f(x)＝－2或f(x)＝3， 若f(x)＝－2，则当x≤0 时，x2＋x＝－2，无解， 当x>0 时，log2(x＋1)＝－2，无解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当x>0 时，令log2(x＋1)＝3，解得x2＝7， 所以y＝f(f(x))－2的零点个数为2. 若f(x)＝3，则当x≤0 时，x2＋x＝3， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由对勾函数的性质知y＝t＋ 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤ 且m≠0. 综上，m≤ . 二、多项选择题 7.关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有 A.存在实数k，使得方程无实根 B.存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C.存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D.存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0. (*) 当k>1时，方程(*)无实根，故原方程无实根. 当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1. 当k<1时，方程(*)有两个不同的实根t1，t2(t1<t2)， 由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1. 因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根. 综上可知，A，B项正确，C，D项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(2024·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是 A.x2＋2x B.x＋1 C.ecos x D.ln(|x|＋1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由方程f(g(x))＝x有实数解可得 g(f(g(x)))＝g(x)， 再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解. 对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确； 对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误； 对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x， 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由函数零点存在定理可知，h(x)在 上存在零点，所以方程有实数解，故C正确； 对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解， 所以方程有实数解，故D正确. 41 三、填空题 9.若存在正实数x，使得ax2＋(a2－1)x＋a＝0成立，则实数a的取值范围是_____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依题意，关于x的方程ax2＋(a2－1)x＋a＝0有正实数解， 当a＝0时，方程的解为x＝0，不符合题意，故a≠0，该方程是关于x的一元二次方程，且有正实数解，注意到x1x2＝1， 10.(2023·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)＋f(－x0)＝ 0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)＝ 则曲线f(x)的“优美点”个数为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x (x≥0)， 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－ (x>0)的图象， 此时有两个“优美点”(x0，f(x0))， 满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－ (x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的 图象， 此时有两个“优美点”(x0，f(x0))， 满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图②. 综上可知，满足题意的“优美点”有4个. 函数图象的对称轴－>2. 即解得－5<m≤－4. 则由题意可得即 解得－<m<－， 例2　(2024·潮州模拟)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f(x)－a的两个零点分别在区间(－1,0)和内，则实数a的取值范围为 A. B.(0,1) C.(ln 2,1)  D. 先作出f(x)＝的图象，  x＝ln a，得到－1<ln a<0，所以<a<1； 在区间内时，ln 2x＝a，x＝， 则<<1，解得1<ea<2，所以0<a<ln 2；综上，得a∈. C. D.∪(1，＋∞) 即或 解得－<a<0. A. B.(0,100) C. D.(75,100) －cos x3＝－cos x4， 当－cos x3＝－cos x4＝1时，x3＝5，x4＝15，此时x3x4＝75， 当－cos x3＝－cos x4＝0时，x3＝， x4＝，此时x3x4＝， 此时x1x2x3x4＝x3x4∈. 例4　(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝ 4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t有七个不同的零点，则实数t的取值范围是 A. B. C. D.∪{1} 解得f(x)＝或f(x)＝t，  y＝f(x)与y＝有4个交点， 即方程f(x)＝有4个不相等的实根， 故实数t的取值范围是∪{1}. 即 由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋， 由基本不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4， 当2f(x)－m＝0时，f(x)＝， 即y＝f(x)与y＝有4个交点， 所以0<<1，解得0<m<2. 解得x1＝(舍正)， A. B.(－∞，0] C. D. 令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋， 因为h(0)＝e>0，h＝1－<0， (－∞，－－1]∪(0，－1] 所以由 解得a≤－－1或0<a≤－1. 若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为 g(x)＝x－(x<0)， $