第一章 §1.6 一元二次方程、不等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第一章 §1.6　一元二次方程、不等式 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象       知识梳理 5 方程的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 _____________ R {x|x<x1或x>x2} 知识梳理 6 2.分式不等式与整式不等式 f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ，|x|<a(a>0)的解集为 . (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－a，a) 知识梳理 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R. (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式 ≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) × √ × × 自主诊断 2.已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝______. R 已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}， B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R. 自主诊断 3.若不等式2kx2＋kx－ <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________. (－3,0] 当k＝0时，满足题意； 解得－3<k<0，所以－3<k≤0. 自主诊断 4.已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________. －1 由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3， 返回 所以a＋b＝5－6＝－1. 自主诊断 第二部分 探究核心题型 命题点1　不含参的不等式 例1　(多选)下列选项中，正确的是 A.不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式 ≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“ <0”的充分不必要条件 √ 题型一　求解一元二次不等式 √ √ 因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为 －1≤0，即 ≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得 －3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由 <0，可得－4<x< 5，因此，“|x－1|<1”是“ <0”的充分不必要条件，故D正确. 命题点2　含参的不等式 例2　已知二次函数f(x)＝x2－ax－2a2，a∈R. (1)若f(1)<0，求实数a的取值范围； 由已知得f(1)＝1－a－2a2<0， 即(a＋1)(2a－1)>0， (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集. f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0， 令f(x)＝0，得x1＝2a，x2＝－a， 当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a； 当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0， 当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a. 综上所述，当a<0时，解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)； 当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞). 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 思维升华 跟踪训练1　设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1. (1)若a＝－2，解不等式f(x)>0； 当a＝－2时，由f(x)＝－2x2＋x＋1>0， 即(2x＋1)(x－1)<0， (2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0. 由f(x)<0，可得(ax－1)(x－1)<0， 当a＝1时，原不等式即为(x－1)2<0，该不等式的解集为∅； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 例3　(1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是 A.a>0 B.不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5} C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D.a＋b＋c>0 题型二　三个二次之间的关系 √ √ 由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a>0，故A正确； 因为－4,5是方程ax2＋bx＋c＝0的根， 所以bx＋c>0，即－ax－20a>0，解得x<－20，故B错误； 因为1∉{x|x≤－4或x≥5}，所以a＋b＋c<0，故D错误. 不等式cx2－bx＋a<0等价于－20ax2＋ax＋a<0，即20x2－x－1>0， 即(5x＋1)(4x－1)>0， (2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是________. (3,4] 设方程x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2， 则x1>1，x2>1， 所以Δ＝(－4)2－4a≥0，x1＋x2>2， (x1－1)(x2－1)>0， 由Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4； 由x1＋x2>2，得4>2显然成立； 29 由(x1－1)(x2－1)>0， 得x1x2－(x1＋x2)＋1>0， 即a－4＋1>0，解得a>3， 综上可得，3<a≤4， 所以实数a的取值范围是(3,4]. 30 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－ 与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 微拓展 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围； 依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图， (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围. 依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图， 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为 A.a<0 B.a＋b＝－5 √ √ √ a＋b＝－3－2＝－5，故A，B正确； ax2＋x－b>0，即－3x2＋x－(－2)>0， (2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝___________________. x2－4x(答案不唯一) 因为f(x)<0恰有3个整数解， 所以设三个整数解分别为1,2,3， 则f(x)<0的解集可以为(0,4)， 故x1＝0，x2＝4是ax2＋bx＋c＝0的两个根， 所以c＝0，b＝－4a， 令a＝1，则b＝－4， 故f(x)＝x2－4x.(答案不唯一) 题型三　一元二次不等式恒成立问题 例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； 由已知得，mx2－mx－1<0对一切实数x恒成立， 当m＝0时，－1<0恒成立，符合题意； 解得－4<m<0， 综上所述，－4<m≤0，即m的取值范围是(－4,0]. (2)若对一切x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围. 由已知得，mx2－mx－1<－m＋5对一切x∈[1,3]恒成立， 即m(x2－x＋1)<6对一切x∈[1,3]恒成立， 而g(x)在x∈[1,3]上单调递增， ∴g(x)∈[1,7]， 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 思维升华 跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； f(x)>0在x∈R上恒成立， (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围. 故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.(2023·湖州模拟)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝　　　　　　，则A∩B等于 A.{x|－1<x≤3} B.{x|x≤3或x>4} C.{x|－2≤x≤4} D.{x|－2≤x≤－1} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为不等式x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}， 所以A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－1<x≤4}， 所以A∩B＝{x|－1<x≤3}. 2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是 A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1<a≤2} C.{a|－1<a<2} D.{a|－1≤a≤2} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}. 3.若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为 A.0 　　　　B.1 　　　　C.－3 　　　　　D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x)max. 令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]， 由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0， 所以m≤0，故m的最大值为0. 4.已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m可能为 A.－2 　　　B.－1 　　　C.0 　　　D.1 √ 令f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3， 则f(1)＝m＋2－2m－4＋3m＋3＝2m＋1， 由题可知，m≠－2，且(m＋2)f(1)<0， 即(m＋2)(2m＋1)<0，解得－2<m<－　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是 A.[－1,2] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞) C.[－2,1] D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0， bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0， 即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2， 所以不等式的解集是[－1,2]. 6.若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有2个整数解，则实数a的取值范围为 A.(－1,0]∪[2,3) B.[－2，－1)∪(3,4] C.(－2，－1)∪(3,4) D.[－1,0)∪(2,3] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0， 当a＝1时，不等式无解； 当a<1时，不等式的解为a<x<1， 若解集中恰有2个整数解，则－2≤a<－1； 当a>1时，不等式的解为1<x<a，若解集中恰有2个整数解，则3<a≤4. 综上，a的取值范围是[－2，－1)∪(3,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 7.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为 A.∅ B.(－1，a) C.(a，－1) D.(a，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据题意，易知a≠0. 当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞). 当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅； 若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)； 若a<－1，则不等式的解集为(a，－1). 8.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为　　　　　，则下列结论正确的是 A.a>0 B.c<0 C.a＋b>0 D.关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3<x<－1} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，故A错误，B正确； a＋b＝－c>0，故C正确； 不等式cx2＋bx＋a>0可化为cx2－4cx＋3c>0， 即x2－4x＋3<0，解得1<x<3， 故不等式解集为{x|1<x<3}，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3,2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3,4).那么原不等式的解集为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－2,3) 依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1， 因此不等式x2＋bx＋c<0，即x2－x－6<0， 解得－2<x<3， 所以原不等式的解集为(－2,3). 四、解答题 11.已知关于x的不等式ax2－x－b>0(a，b∈R)的解集为{x|x>2或x<－1}. (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，方程ax2－x－b＝0的根为2，－1， (2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c<0，即(x－1)(x－c)<0， 当c>1时，解得1<x<c； 当c＝1时，不等式的解集为∅； 当c<1时，解得c<x<1. 综上所述，当c>1时，不等式的解集为(1，c)； 当c＝1时，不等式的解集为∅； 当c<1时，不等式的解集为(c，1). 12.已知函数f(x)＝ax2＋3x－2，且f(x)>0的解集为{x|b<x<2}(b<2). (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，a<0，且b，2为方程ax2＋3x－2＝0的两根， (2)若对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立，求实数m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m可化为－x2＋3x－2≥2＋m， 所以m≤－x2＋3x－4. 因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m恒成立， 所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4恒成立， 即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1,2]， 所以当x＝－1时，y＝－x2＋3x－4取最小值，最小值为－8， 所以m≤－8， 故实数m的取值范围为(－∞，－8]. 13.关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R， 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立， 当x＝0时，a≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范 围是___________. 当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根，满足题意； 当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程， 关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，设根为x1，x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 (1)>0(<0)⇔ ； (2)≥0(≤0)⇔ . 当k≠0时， 由根与系数的关系，得解得 解得a<－1或a>. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪. 解得－<x<1， 故当a＝－2时，不等式f(x)>0的解集为. 所以(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. 当0<a<1时，>1，解得1<x<； 当a>1时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a>1时，原不等式的解集为. 所以解得 解得x<－或x>，故C正确； 得即 解得－<m<－. 故实数m的取值范围为. 得即 解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. ，则下列说法正确的是 C.不等式ax2＋x－b>0的解集是 D.不等式ax2＋x－b>0的解集是∪(1，＋∞) 由题意得，a<0，且ax2＋bx＋1＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝， 则解得 即(3x＋2)(x－1)<0，解得－<x<1， 故不等式ax2＋x－b>0的解集为，故C正确，D不正确. 故0＋4＝－，0×4＝， 当m≠0时，只需 ∵x2－x＋1＝2＋>0， ∴m<对一切x∈[1,3]恒成立， 令g(x)＝x2－x＋1，则只需m<min即可， ∴∈， ∴m<， ∴实数m的取值范围是.  f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， 则f(x)min＝f ＝a－， 即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是.  f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，  f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a， 又不等式≤0的解集为{x|－1<x≤4}， 则解得 由题意得，a<0，和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 由根与系数的关系可得 9.不等式>2的解集为______________. 因为>2， 则－2＝>0， 等价于(1－2x)(x＋2)>0，解得－2<x<， 即不等式>2的解集为. 则解得 所以解得 因为y＝－x2＋3x－4＝－2－，x∈[－1,2]， A. B. C. D.∪ 即a≥max， 当x≠0时，a≥＝， 因为≤＝， 当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立， 所以a≥， 综上所述，a∈. 当Δ＝4－8m＝0，即m＝时，方程为x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意； 当Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0时， 若有一个负实根，则x1x2＝<0，解得m<0， 若有两个负实根，则 解得0<m<， 综上所述，实数m的取值范围是. $