第一章 §1.4 基本不等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

null 第一章 §1.4　基本不等式 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. a>0，b>0 a＝b (3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数. 知识梳理 5 2.利用基本不等式求最值 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值_____； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值____. 简记为：积定和最小，和定积最大. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 知识梳理 6 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) × × √ × (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　) 自主诊断 √ 自主诊断 自主诊断 3.已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为 √ 自主诊断 因为0<x<1，所以1－x>0， 自主诊断 4.(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则 的最小值为____. 4 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是 题型一　直接法求最值 √ √ 选项A中，当x<0时，函数y＝x－ 单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2 ＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为_____. 3 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号). 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可. 思维升华 跟踪训练1　(1)下列函数中最小值为4的是 A.y＝x2＋2x＋4 B.y＝2x＋22－x √ 对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立， √ 题型二　配凑法求最值 √ ∵x>2，∴x－2>0， 即x＝4时取等号)， (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为______. 8 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值. 思维升华 √ (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为 √ 因为正数x，y满足x＋2y＝2， 题型三　常数代换法求最值 例3　(1)已知正数a，b满足 ＝1，则8a＋b的最小值为 A.54 B.56 C.72 D.81 √ 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为______. 72 ∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0， (2)(2023·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 思维升华 √ 因为m>0，n>0且m＋n＝2， √ 因为2a＋b＝2， 所以(4a－1)＋(2b－1)＝2， 题型四　构造不等式法求最值 例4　(1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为 A.9 B.6 C.3 D.12 √ 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为______. 6 因为a>0，b>0，所以a＋b≥2　　，当且仅当a＝b时，等号成立. 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤　　　 ，整理可得(a＋b)2－ 4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去) 所以当a＝b＝3时，a＋b的最小值为6. √ 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值. 思维升华 √ 跟踪训练4　(1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为 A.4 B.1 C.5 D.2 方法一　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立. 方法二　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， √ (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则 √ 返回 课时精练 一、单项选择题 1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 知识过关 因为m>0，n>0， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.若x>0，y>0，且2x＋3y＝12，则xy的最大值为 A.9 B.6 C.3 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x>0，y>0，且2x＋3y＝12， 当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x>1，所以x－1>0， A.21 B.25 C.29 D.33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴x－y≥21，故x－y的最小值为21. 二、多项选择题 7.下列四个函数中，最小值为2的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2x＋y＝xy≥ ，解得xy≥8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时，等号成立，故C错误； 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1>0，y－2>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.若x<2，则x＋ 的最大值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 －4 由于x<2，所以2－x>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为a>1，b>2，所以a－1>0，b－2>0， 又a＋b＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 11.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x>0，y>0， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以2x＋y的最小值为11. (2)2x＋y的最小值. 12.已知x，y都是正数. (1)若2x＋3y＝3，求xy的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为x，y都是正数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 已知x，y都是正数，且x>y， 所以x＋y的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.10 B.9 C.8 D.7 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由x>y>0得 2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ≥2＋2＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 ≥ 2 (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤2 (a，b∈R). (4)≥2(a，b∈R). (1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的.(　　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　) 2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于 A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. A. B. C. D.1 所以x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立， 故x(1－x)的最大值为. ＋ 由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4. A.x－ B.2x＋2－x C.x2＋ D.＋ 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意. 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 由已知，得12＝4x＋3y≥2， 即12≥2， ≥ C.y＝|sin x|＋ D.y＝ln x＋  y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确；  y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝时取等号， 由于|sin x|＝时，|sin x|＝2， 故y＝|sin x|＋≥4取不到等号，故C错误； 对于y＝ln x＋，由于ln x可能小于0， 即y＝ln x＋的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D 错误. (2)已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为 A.2＋4 B.2 C.2－4 D.4 函数y＝＝－3x－＋2＝－＋2， ∵x>0，∴3x＋≥2＝4， 当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立， 故y＝－＋2≤－4＋2， 则y的最大值为2－4. 例2　(1)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于 A. B. C.4 D.6 ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝， ∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 因为y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤2＝8， 跟踪训练2　(1)已知x<0，则－x的最小值为 A.2 B.4 C.2＋1  D.2－1 因为x<0，则1－x>1，－x＝＋(1－x)－1≥2－1＝2－1， 当且仅当＝1－x，即x＝1－时取等号， 所以－x的最小值为2－1.   A.2 B.1 C. D. 所以xy＝x·≤2＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号， 所以xy的最大值为. ＋ 8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号. ∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号. ＋ 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝ ≥＝1. 当且仅当即时取等号. 综上，＋的最小值为1. 跟踪训练3　(1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则＋的最小值是 A.2 B. C.3 D. 所以＋＝(m＋n)＝≥＝， 当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立. (2)已知a>，b>，且2a＋b＝2，则＋的最小值是 A.1 B. C.2 D. 则＋＝[(4a－1)＋(2b－1)]· ＝≥2， 当且仅当＝，即a＝，b＝1时，等号成立. 因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立. 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3， 整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去). 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 2 (2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为 A.2 B.2 C.3 D.3 ∵实数a，b满足＋＝，∴a>0，b>0，且≥2，解得ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取等号. 则ab的最小值为2. 又x>0，y>0，xy≤2， 所以x＋y≤，解得x＋y≥2， 所以＋＝2， 则x＋y＝(x＋y)＝≥＝2， 当且仅当即时，等号成立. A.xy的最大值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D.x2＋y2的最小值为  x＋2y＝1≥2，即xy≤2＝，故A正确； 当x＝，y＝时，＝>，故B错误；  ＋＝(x＋2y)＝3＋＋ ≥3＋2，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝52＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确. A.9 　　　　 B.18 　　　　 C.9 　　　D.27 由基本不等式m＋n≥2得， 2.已知正数x，y满足＋＝2，则x＋y的最小值为 A.2 B.4 C.2＋ D.2＋ 因为正数x，y满足＋＝2， 所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝2＋，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为2＋. 所以xy＝·2x·3y≤2＝6， 4.已知a>0，b>0，且a＋2b＝，则a＋2b的最大值为 A. B. C.3 D.4 ∵a>0，b>0，a＋2b＝， ∴(a＋2b)2＝2ab＋4＝a·2b＋4≤2＋4， 化简得(a＋2b)2≤，解得0<a＋2b≤， 当且仅当 即a＝2b＝时取等号， 故a＋2b的最大值为. 5.函数f(x)＝(x>1)的最小值为 A.2 B.3＋2 C.2＋2  D.5 所以f(x)＝＝＝(x－1)＋＋3 ≥2＋3＝2＋3， 当且仅当x－1＝， 即x＝＋1时取等号， 所以函数f(x)＝(x>1)的最小值为3＋2. 6.已知实数x>0>y，且＋＝，则x－y的最小值是 ∴(x－y＋3)≥4， ∵x>0>y，等式＋＝恒成立， ∴(x－y＋3)＝(x＋2＋1－y)， 由于x>0>y，∴1－y>0,2＋x>0， ∴(x＋2＋1－y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＋2＝1－y，即x＝10，y＝－11时取等号. A.y＝sin x＋ B.y＝2－x－(x＜0) C.y＝ D.y＝4x＋4－x 对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意； 对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意； 对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则  y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意； 对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意. A.＋>1 B.x＋2y＋xy≥9＋6 C.xy≤8 D.＋≥2 ∴＋＝1. ∴＋>＋＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋＋≥9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时，等号成立，故B正确； 2 则＋≥2＝2， 当且仅当＝，即x＝2，y＝4时，等号成立，故D正确.  x＋＝x－2＋＋2， 故2－x＋≥2＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－≤－6， 故x＋＝x－2＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 10.已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为______. 所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1， 所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]· ＝≥ ＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以＋的最小值为. 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0<x<30, 2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 则2x＋3y≥2＝2，即2≤3， 解得xy≤，当且仅当2x＝3y， 即时取等号， 所以xy的最大值为. (2)若＋＝2，且x>y，求x＋y的最小值. 由＋＝2， 可得x＋y＝x－y＋2y＝(x－y＋2y)＝ ≥×＝2， 当且仅当＝，即时，等号成立， 13.已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为 故＋＝(a＋2b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且a＋2b＝1， 即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，x＋2y＝， 即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 14.设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________. a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋ 当且仅当即a＝，b＝时，等号成立. ∴a2＋＋的最小值是4. $