第一章 §1.3 等式与不等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第一章 §1.3　等式与不等式 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.两个实数比较大小的方法 作差法 a－b>0⇔a b， a－b＝0⇔a b，(a，b∈R). a－b<0⇔a b > ＝ < 知识梳理 5 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . b＝a a＝c 知识梳理 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 a>b⇔b___a 2 传递性 a>b，b>c⇒a____c 3 可加性 a>b⇔a＋c___b＋c 推论1：a＋b>c⇔a>c－b 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d > < > 知识梳理 性质 别名 性质内容 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac bc a>b，c<0⇒ac<bc 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0⇒an___bn(n∈N，n≥2) 推论5：a>b>0⇒> 5 取倒数 a>b，ab>0⇒ a>b，ab<0⇒ > > < 知识梳理 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 常用结论 (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(　　) (2)若 >1，则b>a.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　) (4)若 ，则b<a.(　　) √ × × × 自主诊断 2.已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是 √ 自主诊断 对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误； 对于B，当a<0<b时， ，故B错误； 对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误； 对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确. 自主诊断 3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)， 糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为__________. 自主诊断 自主诊断 4.已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________. (－2,1) 因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是 A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.若a>b>0，则a2－b2> √ 题型一　数(式)的大小比较 √ ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的关系随c而定 √ 由题设，易知x，y>0， ∴x<y. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 思维升华 跟踪训练1　(1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是 A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t √ 因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0， 所以s≥t. M>N ∴M>N. 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 例2　(1)若实数a，b满足a<b<0，则 A.a＋b>0 B.a－b<0 题型二　不等式的基本性质 √ 由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是 A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b，则a＋c>b＋c √ √ √ 当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， 30 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， 又b>c>0， 31 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 思维升华 跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1， 满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件. (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是 A. B.－a2<－ab C.ln|a－1|>ln|b－1| D.2a－b>1 √ √ √ 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确. 题型三　不等式性质的综合应用 例3　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是 A.2<x－2y<3 B.－2<x－2y<3 C.2<x－2y<7 D.－2<x－2y<7 √ 因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围. 设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为 A.20 　　　　B.22 　　　　　 C.26　　　　　 D.28 √ 设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N+， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则 A.a＋b的取值范围为[4,7] B.b－a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] √ √ 因为1≤a≤2,3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4,7]， b－a的取值范围为[1,4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5， (2)已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为_________. 设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)， (－1,9) ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y). 又－4<2(x－y)<0,3<3(2x＋y)<9， ∴8x＋y∈(－1,9). 返回 课时精练 一、单项选择题 1.已知a，b∈R，则“　　 　”是“ln a>ln b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 但是ln b无意义， 若“ln a>ln b”，则a>b>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1 000 km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是 A.|x－30|<20 B.|x＋30|<20 C.|x＋10|<50 D.|x－10|<50 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域， 若x能表示平流层高度，则10<x<50， 所以－20<x－30<20，即|x－30|<20. 3.已知a>0，b>0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，则 A.m≥n B.m>n C.m≤n D.m<n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 4.已知a>b，则下列不等式一定成立的是 取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有 ，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 5.若c>b>a>0，则 A.abbc>acbb B.2ln b<ln a＋ln c C. D.logac>logbc √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误； 令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误. 6.已知实数m，n满足0<n<m<1，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 由0<n<m<1知，n－m<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为指数函数y＝mx为减函数，故mn>mm， 由幂函数y＝xm 为增函数知，mm>nm，故mn>nm，故C错误； 根据0<n<m<1知，对数函数y＝logmx，y＝lognx为减函数， 故logmn>logmm＝1＝lognn>lognm，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 7.下列结论中不正确的是 A.若ac2>bc2，则a>b B.若 ，则a>b C.若a>b，c>d，则ac>bd D.若2a－b>1，则a<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确； 又a<b，故B错误； 取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误； 取a＝2，b＝1，满足2a－b>1， 又a>b，故D错误. 8.已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则 A.－1<x<2 B.－2<y<1 C.－3<x＋y<3 D.－1<x－y<3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8， 则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确； 又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4， 所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是__________. 因为a>0，－1<b<0， 所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a， 故ab<ab2<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ab<ab2<a 10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；② 请写出一组a，b的值__________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a＝－1，b＝2(答案不唯一) 容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0， 即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2； 当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a＝ [(a＋b)＋(a－b)]， 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， ∴－2≤ [(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[－2,3]. (2)求3a－2b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. ∴－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为[－4,11]. 13.(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C.a2>b2 D.(a2b－1)(ab2－1)>0 √ √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨，按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为减少农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x(x＞0)个百分点，收购量增加2x个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，则x的取值范围为_______. (0,2] 原计划税收为2 400m×8%，税率降低x个百分点后的税收为m(1＋2x%)×2 400×(8－x)%，依题意可得m(1＋2x%)×2 400×(8－x)%≥ 2 400m×8%×78%，整理得x2＋42x－88≤0，即(x＋44)(x－2)≤0，因为x＞0，所以x的取值范围为(0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 ＝ > > ①a>b>0,0<c<d⇒>； ②0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0). > A.ln a<ln b B.> C.a2<b2 D.a3<b3 < < <. 证明：－＝＝， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0， ∴<0，∴<. － a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)>0，故D正确. (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是 又＝＝<1， (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________. 方法一　∵M－N＝－＝ ＝＝>0. 方法二　令f(x)＝＝＝＋， C.|a|<|b| D.> 所以<，故D错误. C.若a>b>c>0，则> D.若a>b>c>0，则> ∴－＝＝>0， ∴>，故C正确； ∴>>0， 由可乘性知，>，故D正确. < 因为a>b>0，>0，所以>， 即<，故A正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln ，故C不正确； ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，  D.的取值范围为 所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D 错误. 则解得 > 所以由“ln a>ln b”可推出“> ”， 所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件. 若“>”，取a＝1，b＝0， 所以由“>”推不出“ln a>ln b”， 所以>， 由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| > a－>b－ 由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确； 由于a－－＝(a－b)<0，故C错误； A.> B.m＋>n＋ C.mn<nm D.logmn>lognm 所以m＋－＝(m－n)<0， 即m＋<n＋，故B错误； 故－＝<0， 所以<，故A错误； 由0<n<m<1，得m－n>0,1－＝<0， < 取a＝－1，b＝1，满足<，  x＋y＝∈(－2,2)，故C错误；  x－y＝∈(－1,3)，故D正确. >. 11.(1)设a>b>0，比较与的大小； ∵a>b>0，∴>0，>0， ∴＝＝1＋>1，∴>. (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. ∴－＝＝＝>0， ∴>. 则解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10， A.(a＋c)2> B.< 对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确； 对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确； 对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误； 对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确. $