第一章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第一章 必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 一、单项选择题 1.已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝　　 　　　，那么A∪B 等于 A.(－1,4) B.(－1,4] C.(－2,5) D.[－2,5) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4， 即A＝[－2,4]. 所以A∪B＝[－2,5). 2.“x<1”是“x2－4x＋3>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1， 所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件. 3.若不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是 A.0≤k≤6 B.－6<k<0 C.0<k<6 D.k<0或k>6 √ 由题意，函数y＝2x2＋2kx＋3k的图象开口向上， 又不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立， ∴对应方程的判别式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得0<k<6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则q的取值范围是 A.q>8 B.q<－4 C.q>8或q<－4 D.q<－8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得q<－8. 5.若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是 A.－2π<α－β<2π B.0<α－β<2π C.－2π<α－β<0 D.{0} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵－π<β<π， ∴－π<－β<π， 又－π<α<π， ∴－2π<α－β<2π， 又α<β，∴α－β<0， ∴－2π<α－β<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为a，b为正实数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当x1＝x2时等号成立， 二、多项选择题 9.下列各结论正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ C.命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0” D.“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要 条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x2＝－8时等号成立，由于x2＝－8无解，所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误； 命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误； 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确. 10.若实数a，b满足a<b<0，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 由a<b<0⇒－a>－b>0⇒a2>b2>0⇒ln a2>ln b2，故B正确； 因为a<b<0，所以a|a|－b|b|＝－a2＋b2＝(b－a)(b＋a)<0⇒a|a|<b|b|，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是 A.a<0 B.b<0且c>0 C.a＋b＋c>0 D.不等式ax2－cx＋b<0的解集是R √ √ 由题意得，方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1，2，且a<0，故A正确； 所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误； 不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等式的解集为{x|x≠－1}，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a>0，b＝2－2a>0， 从而0<a<1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 13.“α＝β”是“sin α＝sin β”的____________条件.(填“充分不必要” “必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 充分不必要 若α＝β，则sin α＝sin β， 当α＝0，β＝2π时，sin α＝sin β，此时α≠β， 所以“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件. 14.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B⊆A，则m 的取值范围为_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [－1，＋∞) ∵B⊆A， ∴当B＝∅时，2m－1>m＋1， 解得m>2，符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为__________. {a|a≤4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立， 即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立. 当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R； ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}. 16.运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤ x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是6 元/升，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是24 元/时.则这次行车的总费用最低为______元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 260 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当x＝60千米/时，这次行车的总费用最低，最低为260元. 由<0，解得－1<x<5，即B＝(－1,5)， 由题意得 6.若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为 A.2 B.3 C. D.4 所以a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3， 当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立. 7.若关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么a的取值范围是 A. B. C. D. 令f(x)＝x2＋x＋9， 则 解得－<a<0， 即a的取值范围是. 8.已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e为自然对数的底数)，则 A.x1＋x2>1 B.x1＋x2<1 C.＋< D.＋> 由题意得＝＋＝＋<e. 又(x1＋x2)＝1＋＋＋1 ≥2＋2＝4， 所以x1＋x2>>1. A.“xy>0”是“>0”的充要条件 B.＋的最小值为2 xy>0⇔>0，故A正确； 由基本不等式知，＋≥2， 当且仅当＝， A.< B.ln a2>ln b2 C.a|a|<b|b|  D.a＋<b＋ 由a<b<0⇒ab>0⇒<⇒<，故A不正确； 因为a<b<0，所以a＋－b－＝<0⇒a＋<b＋，故D正确. 所以解得则b<0，c>0，故B正确； A.a2＋b2的最小值为 B.ab的最大值为 C.4a2＋b2的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝52＋. 当a＝时，a2＋b2有最小值，故A错误； 因为2＝2a＋b≥2， 所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×＝2， 当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故C错误； ＋＝(2a＋b)＝ 当且仅当＝， 即a＝2－，b＝2－2时等号成立，故D正确. ≥＝＝＋， 当B≠∅时，解得－1≤m≤2， 当1<x≤4时，a≤＝x－1＋， ∴x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，∴a≤4. 设所用时间为t＝ 小时，这次行车的总费用为y元. 则由题意知y＝×6×＋24×＝＋，x∈[50,100].  y＝＋≥2＝260， 当且仅当＝，即x＝60时等号成立. $