第二章 §2.13 实际问题中的函数模型（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§2.13　实际问题中的函数模型 课标要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 知识梳理 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　×　) (3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．(　√　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　) 2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x 答案　D 解析　根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快． 3．(2024·南宁联考)有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这组数据的最佳函数模型是(　　) A．y＝ B．y＝log2x C．y＝·2x D．y＝x2 答案　C 解析　通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确． 4．(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A．26米 B．28米 C．31米 D．33米 答案　C 解析　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－52＋，h(t)max＝h＝≈31. 题型一　用函数图象刻画变化过程 例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 答案　ABC 解析　从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． (2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 答案　B 解析　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1； 当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2； 当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤. 综上，y＝f(x)＝ 函数图象大致如A选项所示． 题型二　已知函数模型的实际问题 例2 (1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(　　) A．6倍 B．102倍 C．103倍 D．106倍 答案　C 解析　设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1， 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8； lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8， ＝＝103. (2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．32天 B．33天 C．34天 D．35天 答案　C 解析　依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05， 即6.05＝＋0.05，解得λ＝6， 所以μ(t)＝＋0.05， 由μ(t)＝＋0.05≤0.1， 得≤， 即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6， 又t∈N，所以tmin＝34， 至少需要放置的时间为34天． 思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 跟踪训练2 (2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数)．已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h 答案　B 解析　由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k， 所以e－k＝0.8， 由(1－60%)M0＝M0e－kt， 得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t， 所以t＝log0.80.4＝＝＝ ＝＝≈＝≈4.103，比较接近4. 题型三　构造函数模型的实际问题 例3 (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 解　(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<－对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9]，得∈， 所以－>， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　设石片第n次接触水面时的速度为vn， 则vn＝20×0.85n－1， 由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3， 得n－1≤log0.850.3， 又log0.850.3＝＝＝＝≈7.4， 所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表： t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t B．v＝ C．v＝ D．v＝2t－2 答案　C 解析　从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快， A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意； B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意， C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意； D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意． 2．(2023·广安模拟)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 答案　C 解析　在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C. 3．(2023·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)(　　) A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 答案　A 解析　由题意可得20＝200(1－e－5k)， 则e－5k＝＝0.9， 两边取以e为底的对数并整理得k＝≈0.021. 4．火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为(　　) A．130 dB B．140 dB C．150 dB D．160 dB 答案　B 解析　设人交谈时的声强为x1， 则火箭发射时的声强为109x1， 则50＝10lg ， 解得x1＝10－7， 则火箭发射时的声强为109×10－7＝102， 将其代入d(x)＝10lg 中， 得d(102)＝10lg ＝140(dB)， 故火箭发射时的声强级约为140 dB. 5．某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过 100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过 300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是(　　) A．如果购物总额为78元，则应付款73元 B．如果购物总额为228元，则应付款205.2元 C．如果购物总额为368元，则应付款294.4元 D．如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元 答案　C 解析　若购物总额为78元，则应付款78－5＝73(元)，故A正确； 若购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确； 若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误； 若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应的购物额度＝216(元)，因此购物总额为300＋216＝516(元)，故D正确． 6．(2023·济南模拟)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元．由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝3－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q＝A＋2，则投资这两座城市收益的最大值为(　　) A．26万元 B．44万元 C．48万元 D．72万元 答案　B 解析　设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元， 由题意可知 解得40≤a≤80， 设投资这两座城市收益为y， 则有y＝3－6＋(120－a)＋2＝3－a＋26， 令＝t⇒t∈[2，4]， 则有f(t)＝－t2＋3t＋26， 该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝6∈[2，4]， 所以f(t)max＝f(6)＝－×(6)2＋3×6＋26＝44. 二、多项选择题 7．(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　) A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 答案　ABD 解析　图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确； 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确； 图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误； 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确． 8．(2024·宿迁模拟)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分五个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则(　　) A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．一等奖的面值为3 130元 D．三等奖的面值为130元 答案　ACD 解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元， 因为100÷20＝5， 所以＝e－a＝5， 则a＝－ln 5，故A正确； 由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100， 可知e3a＋b＝125. 因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍， 所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)， 解得k＝5，故B错误； 则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确； 由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130， 故一等奖的面值为3 130元，故C正确． 三、填空题 9．某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价0.5元，10 km后每多走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应付________元． 答案　11.1 解析　结合已知条件可知，某人坐出租车走了12 km，应付6＋(10－3)×0.5＋(12－10)×0.8＝11.1(元)． 10．(2023·西安模拟)某市拟建造一批外形为长方体的工作房，如图所示．房子的高度为3 m，占地面积为6 m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为800 元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为1 200 元/m2，地面和房顶的造价共20 000元．则一个这样的工作房的总造价最低为________元． 答案　48 800 解析　设AB＝x m，x>0，则BC＝ m， 这样的一个工作房的总造价为2×3x×800＋2××3×1 200＋20 000＝4 800x＋＋20 000， 因为4 800x＋＋20 000 ≥2＋20 000＝48 800， 当且仅当4 800x＝，即x＝3时，等号成立， 所以一个这样的工作房的总造价最低为48 800元． 11．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为________．(填序号) 答案　② 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示．观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求． 12．(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)________． 答案　8 解析　过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)； 过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)； 过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)； … 过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3)． 要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3， 则1.2(1－0.2)n≤0.2，即n≥6， 两边取以10为底的对数可得lgn≥lg 6， 即nlg≥lg 2＋lg 3， 所以n≥， 因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477， 所以≈＝7.77， 所以n≥7.77， 又n∈N*，所以nmin＝8， 故排放前需要过滤的次数至少为8. 四、解答题 13．(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6，精确到1分钟) 解　(1)当x∈[0,16]时， 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)， 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80， 所以b＝－， 所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16,40]时，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80， 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15， 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80， 综上，f(x)＝ (2)当x∈[0,16]时， 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68， 即(x－12)2≥64， 解得x≤4或x≥20(舍去)， 所以x∈[0,4]； 当x∈[16,40]时，令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68， 得x≥15＋0.8－12≈29.6， 所以x∈[30,40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)． 14．(2023·惠州模拟)近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝10＋(k为常数，且k>0,1≤x≤30，x∈N+)，日销售量Q(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示： x 10 15 20 25 30 Q(x) 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)给出以下四个函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－m|＋b；③Q(x)＝a－bx；④Q(x)＝a·logbx.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值． 解　(1)由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减， ①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型． 所以选择函数模型②：Q(x)＝a|x－m|＋b. 由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20， 由解得 则日销售量Q(x)与时间x的关系式为 Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N+)． (2)因为第10天的日销售收入为505元， 则×50＝505，解得k＝1， 所以P(x)＝＋10. 由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60 ＝ 则f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x≤20，x∈N+时， f(x)＝10x＋＋401≥2＋401＝441， 当且仅当10x＝，即x＝2时，等号成立； 当20<x≤30，x∈N+时， f(x)＝－10x＋＋799单调递减， 所以函数的最小值为f(30)＝499＋>441， 综上可得，当x＝2时，函数f(x)取得最小值441. 学科网（北京）股份有限公司 $