第二章 §2.8 对数运算与对数函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§2.8　对数运算与对数函数 课标要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N. 以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM (b∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 2．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．(　×　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称．(　√　) 2．(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于(　　) A．9 B．3 C. D. 答案　A 解析　xlog32＝1，即x＝＝log23， 所以4x＝＝9. 3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 答案　A 解析　f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}， 因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)， 所以f(x)是偶函数， 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增． 结合选项可知选A. 4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ． 答案　(2,4) 解析　对于函数y＝loga(x－1)＋4， 令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4， 所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4). 题型一　对数式的运算 例1 (1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为 ． 答案　45 解析　由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以＝，＝， 由＋＝1， 可得＝＝logm45＝1， 所以m＝45. (2)计算：log535＋－log5－log514＝ . 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋ ＝log5＋ ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 跟踪训练1 (1)若a>0，＝，则等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由＝，得a2＝6， 而a>0，解得a＝3， 所以＝3. (2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ . 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2 ＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2. 题型二　对数函数的图象及应用 例2 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案　A 解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a－1<b<1. (2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 答案　D 解析　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)， 所以－log3a＝log3b， 故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋， 由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5， 故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练2 (1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　C 解析　对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　) 答案　C 解析　根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1,0<b<1， 根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质， 结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项． 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3 (2023·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c 答案　A 解析　∵a＝lg 0.2<lg 1＝0， b＝log32>0，c＝log64>0， ＝＝＝×＝<1， ∴b<c，即c>b>a. 命题点2　解对数方程、不等式 例4 (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由2a>2，可得a>1. 由loga>0， 可得loga>loga1， ∴或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件． 命题点3　对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 答案　D 解析　由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|， 得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)， ∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 跟踪训练3 (1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 答案　A 解析　由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． (2)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D．(1,2) 答案　B 解析　令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4<0， 解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·哈尔滨模拟)函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝的定义域满足 即解得<x≤1， 故函数的定义域为. 2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)， 则a＝3，所以f(x)＝log3x， 于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 3．若<0，则x1与x2的关系正确的是(　　) A．0<x2<x1<1 B．0<x1<x2<1 C．1<x1<x2 D．1<x2<x1 答案　C 解析　因为<0， 所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81， 又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1<x1<x2. 4.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 答案　D 解析　因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数， 所以0<a<1， 又因为函数图象与x轴的交点在正半轴， 所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1， 又因为函数图象与y轴有交点， 所以b<0，所以－1<b<0. 5．(2024·通化模拟)设a＝log0.14，b＝log504，则(　　) A．2ab<2(a＋b)<ab B．2ab<a＋b<4ab C．ab<a＋b<2ab D．2ab<a＋b<ab 答案　D 解析　因为a＝log0.14，b＝log504， 所以a<0，b>0，所以ab<0， ＋＝log40.1＋log450＝log45∈(1,2)， 即1<＋<2， 所以2ab<a＋b<ab. 6．(2023·本溪模拟)若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(1，] D．(，2) 答案　B 解析　若0<a<1，此时x∈(1,2]，logax<0，而(x－1)2>0， 故(x－1)2<logax无解； 若a>1，此时x∈(1,2]，logax>0，而(x－1)2>0， 令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图， 若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]内恒成立， 则loga2>1，解得a∈(1,2)． 二、多项选择题 7．(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则(　　) A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4 C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5 答案　BC 解析　由10a＝5，10b＝20， 得a＝lg 5，b＝lg 20， 则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A错误； b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B正确，D错误； ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5) ＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2， ∵lg 4<lg 5， ∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2 ＝2(lg 5)2， ∴ab<2(lg 5)2，故C正确． 8．(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x3x4＝1 C．1<x4<4 D．0<x1x2x3x4≤2 答案　AB 解析　函数f(x)＝的图象如图所示， 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4， 则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4. 对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4， 所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知－4<x1<－2， 当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4， 所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0,4)，故D错误． 三、填空题 9．计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋＝ . 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 10．(2023·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>y时，f(x)<f(y)，请你写出一个符合上述条件的函数f(x)＝ . 答案　(答案不唯一) 解析　对于函数f(x)＝， f(x)＋f(y)＝＝f(xy)， 且当x>y时，f(x)<f(y)， 所以函数f(x)＝满足条件． 11．设p>0，q>0，若log4p＝log6q＝log9(2p＋q)，则＝ . 答案　 解析　令log4p＝log6q＝log9(2p＋q)＝k， 则p＝4k，q＝6k,2p＋q＝9k， 所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k， 整理得2·2＋k＝1， 解得＝(负值舍去)， 所以＝＝＝. 12．(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数．若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 ． 答案　(2，] 解析　因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数， 所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立， 所以m－2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]， 使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)， 即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2,2]， 使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1， 又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]， 所以m2∈[1,5]， 即m∈[－，－1]∪[1，]， 综上，m∈(2，]． 四、解答题 13．已知f(x)＝． (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解　(1)当a＝2时，f(x)＝， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]． (2)令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是. 14．(2024·株洲模拟)已知函数f(x)＝log9(9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围． 解　(1)因为9x＋1>0， 所以f(x)的定义域为R， 又因为f(x)是偶函数， 所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)， 即log9(9－x＋1)＋kx＝log9(9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立， 则2kx＝log9(9x＋1)－log9(9－x＋1)＝log9＝log99x＝x对∀x∈R恒成立， 即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立， 因为x不恒为0， 所以k＝. (2)由(1)得f(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9(9x＋1)－＝log9 ＝log9， 则方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解等价于方程log9＝log9有两个不相等的实数解， 所以方程3x＋＝＋1有两个不相等的实数解， 令t＝3x，且t>0， 方程化为t＋＝＋1， 即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解， 令g(t)＝t2－t＋1， 则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示， 又g(t)在上单调递减，在上单调递增， 所以g(t)≥g＝，且g(0)＝1， 所以m∈. 15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 答案　D 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0， 则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt， 由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z， 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z， 故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列， 则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即t＋t＝1， 令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点， 即t＋t＝1只有一个解t＝1， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确． 16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝logax－()x－loga2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 答案　 解析　由题知，x>0， f(x)＝logax－()x－loga2＝loga－， 令t＝，t>0， 则y＝logat与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点， 又y＝logat与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上， 设y＝logat，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0， 则解得m＝e， 又＝1，所以a＝>1， 所以当a＝时，y＝logat和y＝at只有一个交点，如图1； 当a>时，y＝logat和y＝at无交点，如图2； 当1<a<时，y＝logat和y＝at有两个交点，如图3. 综上，a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $