第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

必刷小题2　函数的概念与性质 一、单项选择题 1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于(　　) A．{x|－3≤x≤－} B．{x|－≤x≤} C．{x|≤x≤4} D．{x|－3≤x≤4} 答案　B 解析　因为A＝{x|y＝}＝{x|－≤x≤}， B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|－≤x≤}． 2．(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案　C 解析　f(x)的定义域是R， 由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1， 故f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)， 即f(x)是奇函数． 3．已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝(x≠－2) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝＋2(x≠0) D．f(x)＝－1(x≠0) 答案　C 解析　令＝t，即x＝＋1， 则f(t)＝＋1＋1＝＋2， 由x－1≠0，得t≠0， 故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0)． 4．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝21－x B．y＝22－x C．y＝21＋x D．y＝22＋x 答案　B 解析　设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x. 5．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝xsin x C．f(x)＝x－ D．f(x)＝ex－e－x 答案　D 解析　对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝为非奇非偶函数，故A不符合题意； 对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意； 对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意； 对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意． 6．已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f ，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a 答案　D 解析　因为函数f(x)为R上的偶函数， 所以b＝f ＝f(－log23)＝f(log23)， 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为2>log23>log2＝>， log310>log39＝2，所以<log23<log310， 所以f()>f(log23)>f(log310)，即c<b<a. 7．(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 答案　B 解析　因为f(1＋x)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2－x)＝f(x)， 又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0， 所以f(2＋x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 故f(x)的一个周期为4， 所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1. 8．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]． 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数． 因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，即x1f(x1)－x>x2f(x2)－x恒成立，即g(x1)>g(x2)， 所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增． 又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－3)， 所以即 解得<a≤3， 故满足不等式的a的取值范围为. 二、多项选择题 9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝－1 C．f(x)＝ln(x＋) D．f(x)＝ln(sin x) 答案　ABC 解析　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确； 由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．f(x)在[0,1]上单调递增 C．f(x)在[1,2]上单调递减 D．f(2)＝f(0) 答案　AD 解析　因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； 由偶函数在对称区间上的单调性相反， 得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误； 由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确． 11．(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且仅有一个零点 B．f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减 C．f(x)的定义域为{x|x≠1} D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　ABC 解析　令f(x)＝0，即＝0，解得x＝－， 所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确； 函数f(x)＝＝3＋(x≠1)， 因为y＝在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确； 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确； 因为函数y＝的图象关于点(1,0)对称， 所以函数f(x)＝3＋的图象关于点(1,3)对称，故D错误． 12．(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是(　　) A．2是f(x)的一个周期 B．f(4)＝0 C．f(3)＝f(－5) D．f ＋f ＝0 答案　BCD 解析　f(2x＋1)的最小正周期为2， 则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)， 即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)， 所以f(x)的最小正周期为4，故A错误； 因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0. 又4是f(x)的一个周期， 所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确； f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确； f ＋f ＝f ＋f ＝f ＋f ， 又f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f ＝－f ， 所以f ＋f ＝0，故D正确． 三、填空题 13．设函数f(x)＝则f(10)＝________. 答案　0 解析　由已知得f(10)＝f(10－6)＝f(4)＝24－42＝16－16＝0. 14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________． 答案　f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一) 解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为R，根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 15．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 答案　1 解析　由题意得ln x∈[0,2]， 当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减， ∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝<2，不符合题意； 当0<a<2时，f(x)＝ f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意． 故a的值为1. 16．(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，则(i)＝________. 答案　－2 025 解析　因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)． 因为f(x)＋f(－x－2)＝－2， 所以f(x)＋f(x＋2)＝－2， 从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2， 得f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)的一个周期为4. 由f(x)＋f(－x－2)＝－2， 令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1； 令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1； 令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2， 得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1. 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4， 故(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2 025. 学科网（北京）股份有限公司 $