条件概率的计算及其性质的应用 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

条件概率的计算、条件概率性质的应用专项训练 条件概率的计算、条件概率性质的应用专项训练 考点目录 条件概率的计算 条件概率性质的应用 考点一 条件概率的计算 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件. 则， ， 所以. 故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为. 例2．（2026·广东佛山·二模）设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 例3．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 【答案】 【详解】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为： 例4．（24-25高二下·广东东莞·期末）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 【答案】 【详解】由已知，试验前卡片朝上的数字之和为，数字之和为奇数， 若抛掷骰子所得点数为奇数，则试验后卡片朝上的数字之和仍然为奇数， 若抛掷骰子所得点数为偶数，则试验后卡片朝上的数字之和变为偶数， 所以事件进行3次实验后卡片朝上的数字之和为偶数，等于事件三次试验中抛掷骰子所得点数有一次为偶数，余下两次为奇数，或三次试验中抛掷骰子所得点数都为偶数， 设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为， 设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为， 记表示第次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为1或5，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为3，，则， 所以，所以， 事件表示三次试验中有一次骰子的点数为3，另两次的点数为一个奇数一个偶数其中奇数为1或5， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 例5．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. （2）易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 变式1．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】A 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 变式3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则__________. 【答案】 【详解】事件包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，由种不同的排法； 第二步，将高一年级人插空，有种不同的排法， 故事件包含的样本点数共有个. 事件包含样本点数的计算： 第一步，高二年级人内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级人看作一个元素，与高三年级共个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级人插空，有种不同的排法； 故事件AB包含的样本点数共有个 所以. 变式4．（24-25高二下·河北保定·期末）某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 【答案】0.66 【详解】记事件表示 “甲参加跑步比赛”，事件表示 “甲参加跳绳比赛”， 事件表示 “甲获奖”，由题可知. 甲参加跑步比赛获奖的概率为，即在甲参加跑步比赛的条件下获奖的概率， 甲参加跳绳比赛获奖的概率为，即. 又跑步与跳绳不能同时参加，且， 所以，于是根据全概率公式： ， 所以甲获奖得概率为. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 变式6．（25-26高三上·江苏·月考）盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记为取到的红球的个数，求的分布列和数学期望； (2)若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，第3次取到白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）的可能取值为 的分布列如下： 0 1 2 3 （2）记事件“第次取到红球”，于是 那么 . 考点二 条件概率性质的应用 例1．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由全概率公式得，，故A正确； 对于B，，所以，所以，相互独立， 那么，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，表示在发生的条件下发生的概率，表示在发生的条件下发生的概率， 两者之和不一定为1，例如：设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”， 为“掷骰子点数大于2”，则，，和为，D错误. 例3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 变式1．（24-25高二下·福建福州·期末）设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 变式2．（24-25高二下·吉林通化·月考）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，, 而不一定相等，故不一定成立，故A错误； 对于B，因为概率的取值范围为， 所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误； 对于C，由于，故，C正确； 对于D，, 而不一定等于，故D错误， 故选：ABD 变式3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：由，，显然不一定相等，错； B：由，则，而不一定为0，错； 由条件概率公式有，而不一定相等，但有，C错，D对； 故选：ABC 2 学科网（北京）股份有限公司 $条件概率的计算、条件概率性质的应用专项训练 条件概率的计算、条件概率性质的应用专项训练 考点目录 条件概率的计算 条件概率性质的应用 考点一 条件概率的计算 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东佛山·二模）设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·重庆·期末）某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 例4．（24-25高二下·广东东莞·期末）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 例5．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 变式1．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则__________. 变式4．（24-25高二下·河北保定·期末）某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 变式5．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 变式6．（25-26高三上·江苏·月考）盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记为取到的红球的个数，求的分布列和数学期望； (2)若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，第3次取到白球的概率. 考点二 条件概率性质的应用 例1．（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 例3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 变式1．（24-25高二下·福建福州·期末）设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·吉林通化·月考）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $