5.1.1 变化率问题-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[14] 第五章5.15.1.1 变化率问题 A组·基础巩固 6.若抛物线f(x)=x2在点(x。,f(x)处切线的 1.若函数∫(x)在。处有定义，则 斜率为16，则x= 7.已知某物体的运动方程为s=f(t)=2+1,该 in人o+h）-f八的结果 h h 物体在t=to处的瞬时速度为-4，则to= A.与xo,h均无关 B.仅与x。有关，而与h无关 8.物体M的运动方程为s=f(t)=t2+2t,物体N C.仅与h有关，而与xo无关 的运动方程为s=g(t)=2t-3,物体M在[0， D.与xo,h均有关 a]上的平均速度是物体N在[2,3]上的平均 2.一物体运动的位移s与时间t满足函数s=3+ 速度的2倍，则实数a的值为 2,则其在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 9.抛物线f(x)=x2-4x在(-1,5)处的切线方 程为 A.0.41B.2 C.0.3 D.0.2 10.若一物体运动方程如下：（位移单位：m,时间 3.某物体的运动方程为s=t2,该物体在to到。+ r3t2+2,t≥3， 单位：s)s=f(t)= △t之间的平均速度为k1,在t。-△t到t。之间 29+3(t-3)2,0≤t<3 的平均速度为k2,则与k2的大小关系为 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； A.k>k2B.k1<2C.k1=k2D.不确定 4.一物体的运动方程是s=1+子，则在1=2时刻 的瞬时速度是 R子 C.1 D.2 5.(多选)已知物体做自由落体运动的位移函数 为s()=2,g=98,若。= s(1+△)-s1),当△1无限趋近于0时，：趋 △t 近于9.8m/s,则9.8m/s是 A.物体从0s到1s这段时间的平均速度 B.物体从1s到(1+△t)s这段时间的平均 速度 C.物体在t=1s这一时刻的瞬时速度 D.函数s()=在1=1处的切线斜率 ,119 (2)物体的初速度o (2)求抛物线在交点处的切线方程， B组·综合运用 11.若抛物线y=x2+ax+b在点(0，b)处的切线 方程是x-y+1=0,则 ( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 12.一物体运动过程中位移y与时间1的函数关 系为y=ft)=ad(a≠0)，且在时间段[1,2] C组·拓展提升 内的平均速度为-6，则实数a= ：)14.(多选)如图表示物体甲、乙在时间0到4，范 A.2 B.1 C.-1 D.-2 围内，路程的变化情况，下列说法正确的是 13.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10. () (1)求它们的交点； S A.在0到。范围内，甲的平均速度大于乙的 平均速度 B.在0到。范围内，甲的平均速度等于乙的 平均速度 C.在。到1范围内，甲的平均速度大于乙的 平均速度 D.在t。到t1范围内，甲的平均速度小于乙的 平均速度 —120当n=2时，S2=a1+a2=4a, 可得4：=号品=1+行号： 1 当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3, 113 可得a=6S,=1+3+6=2 当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4, 可得=0=号 精据5 (2)下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当n=1时，猜想显然成立 ②很设当=(eN)时，精起成立，即及=治 则当n=k+1时，Sk+1=(k+1)2a+1=(k+1)2(S+1-S), (+2)=+1s-(+1产，4 91=2(k+1) k+2 故当n=k+1时，猜想也成立. ,2n.故猜想 由①和②可知，对于任意的neN都有S。=n+ 成立 .S.=nan, 2n a2 2 n(n+1) 练案[14] 1.B根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x。 有关，而与h没有关系。 2.B△s=3+2×2.1-(3+2×2)=0.2,△t=2.1-2=0.1,则 是-片-2 3D令s=f()=P,则k=f6+△)-代)=(+△)2-6 △t △t =2+4出，2=）--40_云--4) △t △t =2t0-△t. 因为△t可大于零也可小于零，所以k,与k2的大小不确定. △tAs=1 4B4=2+ar+2+A-2-7=-224a如 △s 2(2+A如所以t=2时的瞬时速度为m 1-22+l子 5.CD由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D 正确. 6.8k=1imxo+△）-fxo三lim(△x+2o)=2=16,解得 △x x0=8. 18 7.-1 lim f+△)-f=m(24+4o)=4o=-4,解得 0 △t t0=-1. 8.2由题意，得物体M在[0，a]上的平均速度为a）=0) a-0 。+24=a+2,物体N在[2,3]上的平均速度为3)二2 3-2 =2×3-3-(2×2-3》=2.由题意知a+2=2×2,所以a =2. 9.6x+y+1=0k=1m-1+4)°=4{-1+A）=5=-6,所以 △x 切线方程为y-5=-6(x+1),即6x+y+1=0. 10.【解析】(1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化量为△t=5 -3=2, 物体在te[3,5]上的位移变化量为△s=3×52+2-(3×32 +2)=3×(52-32)=48, 所以每体在1e[3.5]上的早均建度为岁-号=24(mW0) (2)求物体的初速度，即求物体在t=0时的瞬时速度. 因为岁-10±0 △t =29+3[(0+4)-32-29-30-32 △t =3△t-18, 所以物体的初速度 vo lim mA=im(3At-18)=-18(ms). 0△t 11.A由题意可知，抛物线在点(0，b)处的切线的斜率为k= 画0+△+a0+△)+h-b=1,解得a=1,又0,6)在 △x 切线上，∴b=1. 12.D根据题意，函数y=ft)=at(a≠0)，则f(2)=4a,f1) =a所0-是-2)0=3a=-6,解得a-2 2-1 13.【解析】(1)由 y=x2+4, y=x+10, 得-2=3， 或 Ly=8 y=13, .抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)，(3,13) (2)若交点坐标为(-2,8)， 则k=lim Ax 4r0△x [(-2+△x)2+4]-[(-2)2+4] lim DY) △x =im-4+A)=-4 .∴.抛物线在点(-2,8)处的切线方程为y-8=-4(x+2), 即4x+y=0. 若交点坐标为(3,13)， 则=四8 =m3+Ax)2+4-(3+4 △x limx+(Ar) △x =lim(6+△x）=6, .抛物线在点(3,13)处的切线方程为y-13=6(x-3), 即6x-y-5=0. 4,c在0到6范周内，甲，乙的平均速度都为：=云放A错 误，B正确：在到4范围内，甲的平均速度为2-·，乙的平 t-to 均速度为二因为，-。>5-，4->0，所以2二> t-to t1-to 之放C正确，D结灵 练案[15] 1.Bf'(1)）=2,又1i1+A=f1=1ima1+A)-a △x △x lim(aAx+2a)=2a,.2a=2,a=1.又f(1)=a+b=3, 4b=2,6=2. 2.A如图，分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,b2,3, 设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)= kf'(b)=k2f'(c)=k,所以f'(a)<f'(b)<f'(c.故选A 3.A由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以切线的斜率为k= f0-号1>0 99 -91 4AB由导数定义得y=四+。三-回【A] =一是，设P66,调由导数的几有意义可得一是=回子 3π =-1,解得x=±3，从而。=±3，即点P的坐标为(3,3)或 （-3,-3). 5BCDm-a)-m+(-A]-】 Δx -△x =f(),放A错误；画u+)t- 2△h +2》-0-f0.B正确：+3》-6 2△h 3△x 18 f(幻)，由导数的定义知C正确：m0+A)-o) g(x0+4x)-g(x) g(x0+△x)-g(x） △x 。+A)-)（放D正确；故选BCD i Ar 69由题知-8=是- 2(x+△x)2+1-(26+1) DY-H △x 4x,得x0=-2,所以f()=2×(-2)2+1=9. 7.)根据导数的几何意义知f(4)是曲线y=f(x)在x=4处 2 的切线的斜率k,注意到k-名=分，所以了(4)=宁 8.2x-y+4=0由题意知，△y=3(1+△x)2-4(1+△x)+2-3 +4-2=3(△x)2+24xy11=m=2所求直线的 Ar0△x 斜率k=2.故所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4 =0. 9.53由题意知m=a+2,1+m=b,:f'(1)= -0=(0-子)=a-2商线 在点(1，m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m= 3,b=4,a+b=5. 10.【解析】（1)f'(3)=1m3+△)°-3°=27， △x .曲线C在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即 y=27x-54. (2)·切线l:y=27x-54与x,y轴分别相交于点（2,0)，(0， -54), 六所求三角形的面积为S=子×2×54=54， 11.C曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线1过点(2,0)，且 f'(1)=-2,所以切线方程为y=-2(x-2).因为切点在曲 线上也在切线上，所以f(1)=-2×(1-2)=2. 12.AC设点P的横坐标为xo,则点P处切线的倾斜角a与xo 的关系为tana=f'(xo)=lim o+△)=f）=2+2 Ax) △x ae[年号）mae[1,+x)2+2≥1，即o≥ 号放选AC 13.【解析】设P(x,少o),则o=后+1， f0）=+)°t-(+）-2 △x 所以过点P的切线方程为y-y=2x(x-x), 即y=2xox+1-x, 而此直线与曲线y=-2x2-1相切， 所以切线与曲线y=-22-1只有一个公共点，