第5章 5.1.1 变化率问题（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第5章　5.1　5.1.1 [必备知识·基础巩固] 1．函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为(　　) A．－1　　　　　　　 B．－ C．－2 D．2 解析　平均变化率为＝－. 答案　B 2．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是(　　) A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 解析　质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝11＋2Δ t，当Δ t无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s，故选D． 答案　D 3．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1 解析　f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. 所以kAB＝＝＝2.3，故应选B． 答案　B 4．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝＝28，A正确； 物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δ t)＝56， 故B正确； 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δ t)＝70，故D正确． 答案　ABD 5．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________. 解析　 ＝ (3－Δ t)＝3. 答案　3 6．如图所示的是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________. 解析　函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. 由函数f(x)的图象知， f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 答案　　 7．曲线y＝－2x2＋x在点(1，－1)处的切线方程为________. 解析　因为切线的斜率 k＝ ＝－3， 所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)， 即3x＋y－2＝0. 答案　3x＋y－2＝0 8．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1时的瞬时速度． 解析　∵ ＝＝3＋Δ t， ∴ (3＋Δ t)＝3. ∴函数s(t)在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1时的瞬时速度为3 m/s. [关键能力·综合提升] 9．(2025·武汉期末)设f(x)为可导函数，且满足 ＝3，则曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线的斜率是(　　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 解析　由 ＝ ＝－ ＝3， 所以 ＝－9，即f′(3)＝－9， 所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线的斜率是－9. 故选A． 答案　A 10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2，则物体的初速度为(　　) A．3 B．0 C．2 D．5 解析　当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δ t]，即[0，Δ t]， ∵Δ s＝s(Δ t)－s(0)＝[3Δ t－(Δ t)2]－(3×0－02)＝3Δ t－(Δ t)2， ∴＝＝3－Δ t， ＝ (3－Δ t)＝3. ∴物体的初速度为3.故选A． 答案　A 11．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________. 解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以 ＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去)． 答案　5 12．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________. 解析　因为7(t0＋Δ t)2－13(t0＋Δ t)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δ t－13Δ t＋7(Δ t)2， 所以 (14t0－13＋7Δ t)＝14t0－13＝1， 所以t0＝1. 答案　1 13．某赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2. (1)当t＝20，Δ t＝0.1时，求s(20＋Δ t)－s(20)与的值； (2)求当t＝20时的瞬时速度． 解析　(1)s(20＋Δ t)－s(20) ＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202 ＝1＋20＋5×0.01＝21.05， 所以＝＝210.5. (2)易得 ＝ ＝5Δ t＋210， 当Δ t趋于0时，趋于210， 所以赛车在t＝20时的瞬时速度为210 m/s. [核心素养·探索创新] 14．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________. 解析　体积的增加量m3－＝(m3－1)， 所以＝， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)． 答案　2 15．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解析　运动方程为S＝at2. 因为s(t0＋Δ t)－s(t0)＝a(t0＋Δ t)2－at ＝at0Δ t＋a(Δ t)2， 所以＝at0＋aΔ t. 所以 ＝at0. 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以at0＝8×102＝800(m/s)． 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $