4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 [课时跟踪检测] 1.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,Sn=580,则n等于 (　　) A.10 B.15 C.20 D.30 解析:选C　因为Sn=10n+n(n-1)×2=n2+9n,所以n2+9n-580=0,解得n=20或n=-29(舍去). 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 (　　) A.-4 B.-3 C. D.3 解析:选D　因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17,所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= (　　) A.4 B.-2 C.3 D.-1 解析:选B　记等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,又a1=1,所以d=-1,所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= (　　) A.27 B.45 C.81 D.18 解析:选B　由等差数列{an},得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)= S3+S9-S6,即2×(36-9)=9+ S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B. 5.(2025·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6= (　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 解析:选B　法一　由S3=3a2=6⇒a2=2, S5=5a3=-5⇒a3=-1, ∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3,a1=5, ∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和, 故为等差数列,设该等差数列的公差为d1, 由-=2d1,解得d1=-,∴=+d1=-1-,解得S6=-15. 6.[多选]已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的k的取值可以是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选ACD　由等差中项以及等差数列求和公式可得=====5+∈Z,又因为k∈N*,所以k∈{1,2,4}.故选ACD. 7.[多选]记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a1+a2 025<0且a2+a2 025>0,则下列说法正确的有 (　　) A.d<0 B.S2 025<0 C.a1 013+2a1 014>0 D.S2 026·a1 013>0 解析:选BC　对于A,由题意得an=a1+(n-1)d,由a1+a2 025<0可得a1+1 012d<0,由a2+a2 025>0,即a1+d>0,可知d>0,故A错误;对于B,S2 025=2 025a1+d=2 025(a1+1 012d)<0,故B正确;对于C,a1 013+2a1 014>0等价于a1+d>0,又a1+d>a1+d>0,故C正确;对于D,S2 026=2 026a1+d=2 026>0,且a1 013=<0,故S2 026·a1 013<0,故D错误.故选BC. 8.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  解析:因为数列an为等差数列,则由题意得解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 答案:95 9.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析:依题意得=2n-3,即Sn=2n2-3n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1,a2=S2-S1=3,设其公差为d,则d=4,所以an=4n-5(n∈N*). 答案:4n-5 10.(5分)等差数列{an}的前四项和为21,末四项和为67,前n项和为286,则项数n=　　　　.  解析:因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以a1+an==22,所以Sn==11n=286,所以n=26. 答案:26 11.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,在ak和ak+1之间插入k个2(k∈N*)形成一个新数列{bn},则{bn}的前2 024项的和为　　　　.  解析:在数列{bn}中,在ak+1的前面的所有项的项数为k+(1+2+…+k)=≤2 024,当k=62时,=2 015,即在a63的前面的所有项的项数为2 015,又在a63与a64之间共有63个2,所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的项有63项,中间插入2的数量为1+2+…+62+8=1 961,所以数列{bn}的前2 024项和为+1 961×2=7 891. 答案:7 891 12.(5分)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=3(n∈N*),则an=　　　　,a4+a7+a10+…+=　　　　.  解析:由题意可知,数列{an}是以1为首项,以3为公差的等差数列,所以an=1+3(n-1)=3n-2. 因此,a4+a7+a10+…+a3n+4=10+19+28+…+[3×(3n+4)-2]==. 答案:3n-2　 13.(5分)若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+3n(n∈N*),则an=　　　　,++…+=　　　　.  解析:令n=1,得=4,故a1=16.当n≥2时,++…+=(n-1)2+3(n-1).与已知式相减, 得=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,∴an=4(n+1)2.又∵n=1时, a1=16满足上式,∴an=4(n+1)2(n∈N*),∴=4n+4,∴++…+==2n2+6n. 答案:4(n+1)2　2n2+6n 14.(10分)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;(4分) (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.(6分) 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n, 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35,可得2k-k2=-35, 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7. 15.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列. 解:当n=1时,a1=S1=2+c, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n-1)+c]=2n. ∴数列{an}的通项公式是an= ①当c=0时,an=2n为等差数列; ②当c≠0时,a1=2+c≠2×1,∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数,∴{an}不是等差数列. 故当c=0时,{an}是等差数列,当c≠0时,{an}不是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $