4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式 [课时跟踪检测] 1.下列三个数依次成等比数列的是 (　　) A.1,4,8 B.-1,2,4 C.9,6,4 D.4,6,8 解析:选C　42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C. 2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= (　　) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:选D　依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D. 3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= (　　) A.±4 B.-4 C.4 D.5 解析:选A　因为实数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,得m=±4,故选A. 4.在等比数列{an}中,a1=2,a4=.若am=2-11,则m= (　　) A.17 B.16 C.14 D.13 解析:选D　设等比数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=,所以2q3=,解得q=.又am=2-11,所以2×=2-11,可得m=13. 5.[多选]下列数列为等比数列的是 (　　) A.{2n} B.{n2} C.{3-n} D.{2·2n} 解析:选CD　A项,an=2n,则=不为定值,不满足;B项,an=n2,则=不为定值,不满足;C项,an=3-n,则==为定值,且a1=,满足;D项,an=2·2n,则==2为定值,且a1=4,满足.故选CD. 6.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　) A.14 B.12 C.6 D.3 解析:选D　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得 即解得所以a6=a1q5=3,故选D. 7.[多选]已知{an}为等差数列,满足4a3-a8=7,a2+a7=11,{bn}为等比数列,满足b1=a1,b4=a15,则 (　　) A.{an}的首项与公差相等 B.a2,a5,a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3,b5,b6成等差数列 解析:选BC　因为{an}是等差数列,设公差为d,则4a3-a8=3a1+d=7,a2+a7=2a1+7d=11,解得a1=2,d=1,故A错误;可得an=2+n-1=n+1,所以a2=3,a5=6,a11=12,是等比数列,故B正确;数列{bn}为等比数列,且b1=a1=2,b4=a15=16,所以q=2,则bn=2n,故C正确;b3=8,b5=32,b6=64,不是等差数列,故D错误. 8.在数列{an}中,a1=,∀m,n∈N*,am+n=aman,则a6等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×=,故a6==. 9.(5分)已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为　　　　.  解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项,所以解得a=-4. 答案:-4 10.(5分)在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　.  解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10. 答案:80,40,20,10 11.(5分)已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2·…·an取得最小值的n为　　　　.  解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=-8a1=-,∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,即{an}是递增的等比数列,∴n=3或n=4时,a1a2·…·an取得最小值. 答案:3或4 12.(5分)各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=　　　　.  解析:因为{an}为正项等比数列,所以a3a7==4,所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4. 答案:2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5=2即可) 13.(10分)(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;(5分) (2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.(5分) 解:(1)法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得解得 ∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列,∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. (2)由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=, 当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4; 当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4. 14.(10分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式;(5分) (2)若数列{bn}满足bn=11-2log2an,求数列{bn}前n项和Tn的最大值.(5分) 解:(1)设数列{an}的公比为q,q>0,因为2a1,a3,3a2成等差数列, 所以2a1+3a2=2a3,即2a1+3a1q=2a1q2, 所以2q2-3q-2=0, 解得q=2或q=-(舍去). 又a1=2,所以数列{an}的通项公式an=2n. (2)由(1),得bn=11-2log22n=11-2n,则b1=9,且bn+1-bn=-2, 故数列{bn}是首项为9,公差为-2的等差数列, 所以Tn==-n2+10n=-(n-5)2+25, 所以当n=5时,Tn取得最大值,为25. 15.(10分)已知无穷数列1,1,…,1,…,求证: (1)这个数列是等比数列;(3分) (2)这个数列中的任一项是其后第5项的;(3分) (3)数列中任两项之积仍为数列中的项.(4分) 证明:(1)任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,则==1, 且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. (2)任取数列中的一项am=1,则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=,得证. (3)任取数列中两项=1,=1,则=1·1=1. ∵n1≥1,n2≥1,且n1,n2∈N*,n1≠n2,∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*, ∴符合已知数列中的项的特点,即为数列中的项. 学科网（北京）股份有限公司 $