4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用 [课时跟踪检测] 1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.5或6 解析:选D　由d=2,S3=3a1+3d=-24,得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0,解得n=6,所以a6=0.从而S5=S6均为最小值. 2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1<a2<0,则数列{an}的前n项和Sn (　　) A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值 C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值 解析:选A　由数列{an}为等差数列,且a1<a2<0,得公差d=a2-a1>0,故数列{an}为递增数列,且a1<0,所以Sn有最小值,无最大值. 3.某工厂计划今年1月份生产某产品100件,以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件,为保证今年该产品的总产量超过1 800件,则k的最小值为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:选A　因为该工厂计划今年1月份生产某产品100件,以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件,所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项,k为公差的等差数列,由今年该产品的总产量超过1 800件,所以12×100+·k>1 800,解得k>.又k∈N,所以k的最小值为10. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 023>0,S2 024<0,则当Sn最大时,n= (　　) A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 解析:选C　由S2 023>0可得S2 023==2 023a1 012>0,即a1 012>0.由S2 024<0可得S2 024==1 012(a1 012+a1 013)<0,即a1 012+a1 013<0,所以a1 013<0,则数列{an}是前1 012项为正数,从第1 013项开始为负数的递减数列,故当Sn最大时,n=1 012,故选C. 5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 (　　) A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 解析:选ABD　设等差数列{an}的公差为d,则a5=a1+4d=11+4d=3,解得d=-2.S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35,A正确;an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=13-2n,B正确;|an|=|13-2n|=故当n=6或7时,|an|取最小值1,C错误;Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36,故当n=6时,Sn取得最大值36,D正确.故选ABD. 6.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,n>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中 (　　) A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 解析:选A　由n>(n+1)Sn,得>,即->0.而-=,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7. 7.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 (　　) A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 解析:选AD　依题意,等差数列{an}的公差d==3,由S8=-556,得8a1+28×3=-556,解得a1=-80,数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83,A正确;显然等差数列{an}是递增数列,且a27<0,a28>0,则{Sn}中的最小值为S27,B错误;又Sn==,由Sn<0,得0<n<,又n∈N*,故n的最大值为54,C错误;|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27=-2×=81×27=37,D正确.故选AD. 8.(5分)等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　.  解析:∵∴∴Sn的最大值为S5. 答案:S5 9.(5分)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为　　　万元.  解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费构成以12为首项,4为公差的等差数列,则S10=10×12+×10×9×4=300(万元). 答案:300 10.(5分)在等差数列{an}中,已知公差d>0,a3+a5=-4,a2a6=-12,则数列{|an|}的前4项和S4=　　　.  解析:由 解得或(舍去). 故an=2n-10,当n≤4时,an<0, ∴S4=-=20. 答案:20 11.(10分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式;(3分) (2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(7分) 解:(1)设{an}的公差为d,则 解得a1=13,d=-2. 所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n. (2)由(1)得|an|= 当n≤7时, Tn=13n+×(-2)=14n-n2, 当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2. 综上,Tn= 12.(15分)某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示: 2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完,则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少?(7分) (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地?(8分) 解:(1)依题意,每年比上一年多造林400公顷,其中2023年新植1 400公顷, 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷,而实际沙地面积为24 000公顷, 所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷, 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. (2)设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1,a2,a3,…,an,则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400,所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400, 由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷,依题意可得Sn-200n≥24 000, 化简得n2+7n-120≥0,解得n≥8. 故8年,即到2031年可绿化完全部荒沙地. 13.(15分)设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N*)都在椭圆C:+=1上,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…, an=|OPn|2构成一个公差为d(d≠0)的等差数列(其中O是坐标原点),记Sn=a1+a2+…+an及P1(10,0). (1)若S3=255,求点P3的坐标(写出一个即可);(6分) (2)当公差d变化时,求S100的最小值.(9分) 解:(1)由S3=3a2=255,解得a2=85,因为P1(10,0),所以a1==100,所以a3=S3-a1-a2=255-100-85=70,可得a3=|OP3|2=70,由解得故点P3的坐标可以为(2, ).(答案不唯一) (2)原点O到椭圆C: +=1(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. 因为a1==a2,所以d<0,且an==a2+(n-1)d≥b2,故≤d<0. 因为n≥3,>0,所以Sn=na2+d在上递增, 故Sn的最小值为na2+×=. 当椭圆C:+=1,即a2=100,b2=25时, S100的最小值为=6 250. 学科网（北京）股份有限公司 $