4.2.1 第3课时 等差数列的性质及综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.2.1 第3课时 等差数列的性质及综合应用 [课时跟踪检测] 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (　　) A.3 B.-6 C.4 D.-3 解析:选B　由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6. 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= (　　) A.12 B.8 C.6 D.4 解析:选B　由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.又d≠0,∴m=8. 3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 025= (　　) A.4 044 B.4 046 C.4 048 D.4 050 解析:选D　设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1=8=4d1,故d1=2,故bn=2n,则b2 025=2 025×2=4 050. 4.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6,则a6的取值范围是 (　　) A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞) 解析:选C　因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}递增,所以d>0,所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C. 5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 (　 ) A.132 B.133 C.134 D.135 解析:选D　设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…,所以数列{an}为等差数列,且首项为a1=11,公差为d=26-11=15,所以an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,则2≤an≤2 024,即2≤15n-4≤2 024,解得≤n≤135,则满足≤n≤135的正整数n的个数为135,因此该数列共有135项. 6.[多选]已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则m-n的值等于 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选BD　设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根分别为a1,a2,a3,a4,则数列a1,a2,a3,a4是首项为的等差数列,设其公差为d,由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3,①若a1,a4为方程x2-2x+m=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+n=0的两根,由根与系数的关系可得a1+a4=+a4=2,可得a4=,d==,则a2=,a3=,此时m=a1a4=,n=a2a3=,则m-n=-;②若a1,a4为x2-2x+n=0的两根,则a2,a3为方程x2-2x+m=0的两根,同理可得m=,n=,则m-n=.综上所述,m-n=±. 7.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=4n-3,n∈N*,将{an},{bn}各项并在一起,相等的项即为一项,从小到大排列成一个新的数列{cn},则c2 023= (　　) A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 解析:选D　根据题意,得{an}:1,4,7,10,13,…;{bn}:1,5,9,13,17,….故{cn}:1,4,5,7,9,10,13,…,把{cn}中的项按6个一组划分,则第k组可表示为12(k-1)+1,12(k-1)+4,12(k-1)+5,12(k-1)+7,12(k-1)+9,12(k-1)+10(k∈N*),又2 023=337×6+1,故c2 023是第338组的第一个数,则c2 023=12×337+1=4 045. 8.(5分)各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9=　　　　.  解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,又2a3-+2a11=0,所以4a7-=0,即a7=4,所以a5+a9=2a7=8. 答案:8 9.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=　 　　.  解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5.设公差为d>0,则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80,又d为正数,∴d=3.∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 答案:105 10.(5分)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n+1列的数是　　　.  解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n. 答案:n2+n 11.(5分)已知函数f(x)在(-1,+∞)上具有单调性,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于　　　　.  解析:由题意函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,则函数f(x)的图象关于x=-1对称,且在(-1,+∞)上具有单调性,因为f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列,所以a1+a100=a50+a51=-2. 答案:-2 12.(10分)已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24. (1)求a20的值;(4分) (2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.(6分) 解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2, 所以a20=a3+17d=40. (2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0,即3n->0,得n>, 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 13.(10分)已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2;(3分) (2)求{bn}的通项公式;(4分) (3){bn}中的第506项是{an}中的第几项?(3分) 解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列. (1)因为a1=3,d=-5, 所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…, 所以b1=a3=-7,b2=a7=-27. (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项, 即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*). (3)由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023, 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 14.(10分)已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=. (1)求数列{}的通项公式;(4分) (2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.(6分) 解:(1)由已知得-=-,所以数列{}是等差数列,设其公差为d. 由a4-a2=,得-=2. 所以2d=2,即d=1,所以=+(n-1)d=n. (2)由an>0,得an=, 所以原不等式可化为+1<2, 两边平方可得n+6+2<4n, 即2<3n-6,所以4(n+5)<(3n-6)2, 整理得(n-4)(9n-4)>0,解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 　　　 学科网（北京）股份有限公司 $