5.2.3 简单复合函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学简单复合函数的导数核心知识点，前承基本初等函数导数，后启复杂函数求导及应用。通过定义阐释、法则解析、注意事项提示构建学习支架，逐步过渡到基础训练与梯度题型（求导、综合应用、实际问题）。 采用梯度进阶式教学，以“微点助解”强化易错点（如sin2x导数避免漏乘2），培养数学思维的严谨性。实际应用题型（如汽水温度变化）引导学生用数学语言表达现实，提升应用意识。课中助力教师分层教学，课后通过针对训练帮助学生查漏补缺。

5.2.3　简单复合函数的导数[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合所学的公式、法则进行一些复合函数求导. 1.复合函数的定义 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 2.复合函数求导法则 对于复合函数y=f(g(x)),y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. |微|点|助|解|　　使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选择适当的中间变量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'=cos 2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写. 基础落实训练 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　　) A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1 解析:选A　由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= (　　) A.0 B.-1 C.-20 D.20 解析:选D　因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9,所以f'(1)=20. 3.函数y=cos的导数为　　　　.  解析:y'='=-sin(-3)=3sin. 答案:3sin 4.指出下列函数由哪些函数复合而成. (1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos(x+1). 解:(1)y=ln 由y=ln u,u=复合而成. (2)y=esin x由y=eu,u=sin x复合而成. (3)y=cos(x+1)由y=cos u,u=x+1复合而成. 题型(一)　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=cos x2; (3)y=sin;(4)y=. 解:(1)令u=1-3x,则y==u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2. (3)令u=2x-,则y=sin u, 所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)令u=1+x2, 则y=,所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 　　|思|维|建|模|　求复合函数的导数的步骤 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数: (1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4); (3)y=. 解:(1)∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12. (2)∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===. (3)函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数,根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==. 题型(二)　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 解:(1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=, ∴y'===. (2)y'=(x)'=x'+x()' =+=. (3)∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, ∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. 　　|思|维|建|模| (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导. 　　[针对训练] 2.求下列函数的导数: (1)y=e-x+2(2x+1)5; (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1); (3)y=sin 2x+cos2x; (4)y=. 解:(1)y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9). (2)y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-. (3)y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'=2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x. (4)y'==. 题型(三)　复合函数的导数在实际问题中的应用 [例3]　一瓶汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t. (1)求汽水温度x在t=1处的导数; (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系:x=y-32.写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数. 解:x'=-32e-2t. (1)当t=1时,x'=-. (2)y=(x+32)=(16e-2t+36),y'=×(-2)=-e-2t. |思|维|建|模| 　　将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 　　[针对训练] 3.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-.求函数在t=1 s时的导数,并解释它的实际意义. 解:s=5-可看作s=5-和x=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量. 由导数公式得s'x=-,x't=-18t. 由复合函数求导法则得s't=s'x·x't=-·(-18t)=, 将t=1代入s'(t),得s'(1)=2.25(m/s),表示当t=1 s时梯子上端下滑的速度为2.25 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $