5.2.3简单复合函数的导数 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3简单复合函数的导数 【学习目标】 1. 了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数． 【学习重难点】 重点：复合函数的概念及求导法则 难点：复合函数的导数 【知识梳理】 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作=______________. 2. 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为＝____________，即对的导数等于_________________________ 的_______． 【概念辨析】 1.函数的复合过程正确的是 (　 ) A. , B. , C. , D. , 2．函数的导数为(　　) A．　　 B． C． D． 【典例分析】 例1、求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. （4） 变式、(1) ; (2) . 例2、求下列函数的导数. (1) ; (2) ; (3) . 例3、（1）设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝  .该切线与坐标轴围成的面积为   ． （2）曲线在处切线的斜率为    ． 【当堂训练】 1.设函数，则= (　　) A． B. C． D． 2.已知函数的导数是，且，则实数=（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线斜率为__________. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.3简单复合函数的导数 【学习目标】 1. 了解复合函数的概念． 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数． 【学习重难点】 重点：复合函数的概念及求导法则 难点：复合函数的导数 【知识梳理】 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作=______________. 2. 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于_________________________ 的_______． 【概念辨析】 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　 ) A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2 C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1 解析:选A　由复合函数求导法则知A正确. 2．函数的导数为(　　) A．　　 B． C． D． C 【解析】 因为是由复合而成， 所以，故选C. 【典例分析】 例1、 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. （4） 【解】 (1) 因为是由复合而成，所以. (2)因为是由复合而成，所以. (3)因为是由复合而成，所以. （4） 变式、(1)y=cos x2; (2)y=. (1)令u=x2,则y=cos u, 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2. (2)令u=1+x2, 则y=,所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 例2、求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 解:(1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=, ∴y'= ==. (2)y'=(x)'=x'+x()' =+=. (3)∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, ∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. 例3、（1）设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝            .该切线与坐标轴围成的面积为                ． （2）曲线在处切线的斜率为                    ． 【当堂训练】 1.设函数f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)= (　　) A．1 B. C．－1 D．－2 B 【解析】f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.故选B. 2.已知函数的导数是，且，则实数= （ ） A. B. C. D. 1 B 【解析】 因为，所以，所以，所以,故选B. 3. 曲线在点处的切线斜率为__________. 0 【解析】 因为，所以，所以时，,所以曲线上点处的切线斜率为0 . 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $