5.2.1 基本初等函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，先通过导数定义推导y=c、y=x、y=x²等常用函数的导数，再系统总结基本初等函数导数公式，构建从具体推导到公式应用的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，“微点助解”提炼公式特点培养数学语言表达，“思维建模”总结解题方法发展数学思维，结合切线方程、质点运动等实例，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固应用，查漏补缺。

　　　　 5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 1.几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)=x3 f'(x)=3x2 f(x)= f'(x)=- f(x)= f'(x)= 2.基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=ax ln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 基础落实训练 1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 (　　) A.- B. C.- D.0 解析:选D　∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0. 2.若f(x)=,则f'(1)等于 (　　) A.0 B.- C.3 D. 解析:选D　因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=. 3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= (　　) A.2 B.-2 C.±2 D.± 解析:选C　依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2. 题型(一)　求基本初等函数的导数 [例1]　 求下列函数的导数: (1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ; (4)y=lox;(5)y=cos; (6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex. 解:(1)y'=-3x-4. (2)y'=3xln 3. (3)y= = =,∴y'== . (4)y'==-.(5)y=sin x,y'=cos x. (6)y'=0.(7)y'=.(8)y'=ex. |思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式. 　　[针对训练] 1.求下列函数的导数: (1)y=6x;(2)y=x2; (3)y=cos2-sin2. 解:(1)y'=(6x)'=6xln 6. (2)y'=(x2)'=()'==. (3)∵y=cos2-sin2=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x. 2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值. 解:f'(x)=(logax)'=,由题得f'(2)==, 所以ln a=ln 2,得a=2. 题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程. 解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,即切线斜率为,所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 　　[变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值. 解:设切点坐标为(x0,y0),由题意得y'==k,又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程. 解:因为点O(0,0)不在曲线上,所以设切点为Q(a,b),则切线斜率k=,又因为k=,且b=ln a,所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围. 解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件. 另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件. 因为y=mx的图象过(0,0), 设切点为Q(a,b),则切线斜率m=, 又因为m=,且b=ln a, 所以a=e,b=1,m=,即m的取值范围为(-∞,0]∪. |思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. 　　[针对训练] 3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析:选D　y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2),截距分别为-e2,1,故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1,即-2=-1,∴x0= . 代入曲线方程得y0=,∴点P的坐标为. 题型(三)　导数公式的实际应用 [例3]　 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为　　　　,质点运动的加速度为　　　　.  解析:v(t)=s'(t)=cos t,∴v=cos =,即质点在t=时的速度为.∵v(t)=cos t,∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t. a=-sin=-. 答案:　- |思|维|建|模| 　　由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数. 　　[针对训练] 5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　mm/min.  解析:因为y=f(t)==,所以f'(t)='=,所以f'(4)=×=,故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $