5.2.1基本初等函数的导数 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1 基本初等函数的导数 【学习目标】 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 【学习重难点】 重点：基本初等函数的导数公式的简单应用 难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，， 的导数 【知识梳理】 原函数 导数 （) =_________ (为常数) =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ 【概念辨析】 1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 (　 ) A.- B. C.- D.0 解析:选D　∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0. 2.若f(x)=,则f'(1)等于 (　 ) A.0 B.- C.3 D. 解析:选D　因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=. 3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= (　 ) A.2 B.-2 C.±2 D.± 解析:选C　依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2. 【典例分析】 例1、求下列函数的导数: (1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ; (4)y=lox;(5)y=cos; (6)y=sin;(7) y=cos2-sin2.;(8) . 解:(1)y'=-3x-4. (2)y'=3xln 3. (3)y= = =, ∴y'== . (4)y'==-.(5)y=sin x,y'=cos x. (6)y'=0.(7) ∵y=cos2-sin2=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x. (8) 因为所以. 例2、已知曲线y＝lnx，P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,即切线斜率为,所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0. 变式、已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝ . 解:设切点坐标为(x0,y0), 由题意得y'==k,又 解得∴k=. 例3、设P是曲线上任意一点，求点P到直线的最小距离． 【解】 如图，设是与直线平行且与曲线相切的直线，则切点到直线的距离最小．设切点为，则 故则两平行直线间的距离 【当堂训练】 1. 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为　　　　,质点运动的加速度为　　　　.  解析:v(t)=s'(t)=cos t,∴v=cos =,即质点在t=时的速度为.∵v(t)=cos t,∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t. a=-sin=-. 答案:　- 2. .已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　mm/min.  解析:因为y=f(t)==,所以f'(t)='=,所以f'(4)=×=,故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 答案: 3.设则（   ） A． B． C． D． A 【解析】 因为，所以，，，，...所以以4为周期，所以，故选A. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1 基本初等函数的导数 【学习目标】 1.能根据导数定义求常见函数的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 【学习重难点】 重点：基本初等函数的导数公式的简单应用. 难点：根据定义求函数，，，，的导数. 【知识梳理】 原函数 导数 （) =_________ (为常数) =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ =_________ 【概念辨析】 1.已知,则的值为 (　 ) A. B. C. D. 2.若,则等于 (　 ) A. B. C. D. 3.已知函数,是的导函数,若,则= (　 ) A. B. C. D. 【典例分析】 例1、求下列函数的导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) . 例2、已知曲线，是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程． 变式、已知是曲线的一条切线，则＝ . 例3、设是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离． 【当堂训练】 1. 质点的运动方程是,则质点在时的速度为　　　　,质点运动的加速度为　　　　.  2.已知在一次降雨过程中,某地降雨量(单位:)与时间(单位:)的函数关系可近似表示为,则在时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　.  3.设则（  ） A． B． C． D． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $