5.2.2 导数的四则运算法则-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦导数的四则运算法则，系统梳理和差、积、商的导数公式。从导数定义出发，通过问题探究推导法则，结合例题与练习，构建“定义推导-法则应用-综合实践”的学习支架，衔接导数公式与切线、实际问题求解。 特色在于以任务驱动学习，通过问题链引导逻辑推理（如积商法则的探究），例题与对点练强化数学运算，实际应用（如净化费用瞬时变化率）培养数学建模。课中助力教师分层教学，课后通过任务再现与练习帮助学生查漏补缺，提升核心素养。

5.2.2　导数的四则运算法则 学习目标 1.理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，培养数学运算的核心素养. 2.能利用导数公式和导数的四则运算法则解决简单的切线问题和实际问题，培养数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养. 任务一　f(x)±g(x)的导数 (阅读教材P76，完成探究问题1、2) 问题1.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？ 提示：第一步：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均变化率＝；第三步：取极限，得导数y'＝f'(x)＝. 问题2.令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 提示：Δy＝[f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)]－[f(x)＋g(x)]， ＝＝＋， y'＝＝＝f'(x)＋g'(x). 所以有[f(x)＋g(x)]'＝f'(x)＋g'(x). 两个函数和或差的导数 符号表达：[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x). 语言叙述：两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差). [微提醒]　推广式[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'＝f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). (链教材P76例3)求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5；(2)y＝ln x－sin x； (3)y＝5x＋log2x－3；(4)y＝(＋1). 解：(1)y'＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)'＝(x4)'＋(x3)'＋(cos x)'－(ln 5)'＝4x3＋3x2－sin x. (2)y'＝(ln x－sin x)'＝(ln x)'－(sin x)'＝－cos x. (3)y'＝(5x＋log2x－3)'＝(5x)'＋(log2x)'－(3)'＝5xln 5＋. (4)因为y＝－＋，所以y'＝(－＋)'＝(－)'＋()'＝－－＝－. 应用加法、减法运算法则求导时的注意点 1.熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提. 2.判断函数的解析式是不是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式，进而选择正确的公式和运算法则. 对点练1.求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝x7＋； (3)y＝lg x－ex； (4)y＝x2－sincos. 解：(1)y'＝(x5－x3＋cos x)'＝(x5)'－(x3)'＋(cos x)'＝5x4－3x2－sin x. (2)y'＝(x7＋)'＝(x7)'＋()'＝7x6＋. (3)y'＝(lg x－ex)'＝(lg x)'－(ex)'＝－ex. (4)因为y＝x2－sin cos＝x2－sin x，所以y'＝(x2－sin x)'＝2x－cos x. 学生用书⬇第87页 任务二　f(x)g(x)和的导数 (阅读教材P77，完成探究问题3、4) 问题3.若函数f(x)＝x2，g(x)＝x，那么[f(x)g(x)]'＝f'(x)g'(x)，'＝吗？ 提示：不等；因为'＝3x2，f'(x)g'(x)＝2x，所以'≠f'(x)g'(x). 因为'＝1，＝＝2x，所以'≠. 问题4.'，'与f'(x)，g'(x)之间有什么关系呢？ 提示：'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)，'＝(g(x)≠0). 两个函数乘积或商的导数 1.符号表达：(1)[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x). (2)'＝(g(x)≠0). 2.语言叙述：(1)两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数； (2)两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方. [微思考]　如果f(x)的导数为f'(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？ 提示：由于常数函数的导数为0，即(c)'＝0，由导数的乘法法则，得[cf(x)]'＝cf'(x). (链教材P77例4)求下列函数的导数： (1)y＝xnex；(2)f(x)＝；(3)y＝(2x2－1)·(3x＋1)；(4)y＝x2sin x＋. 解：(1)y'＝'ex＋xn'＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex. (2)因为f(x)＝，所以f'(x)＝＝. (3)法一：y'＝[(2x2－1)(3x＋1)]'＝(2x2－1)'(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)' ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y'＝(6x3＋2x2－3x－1)'＝(6x3)'＋(2x2)'－(3x)'－(1)'＝18x2＋4x－3. (4)因为y＝x2sin x＋， 所以y'＝2xsin x＋x2cos x＋＝2xsin x＋x2cos x－. 利用导数运算法则的策略 1.分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. 2.如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. 3.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝sin x·(cos x＋1)；(3)y＝；(4)y＝. 解：(1)因为y＝＝x3－9x－3x＋＝x3－12x＋， 所以y'＝3x2－12－. (2)因为y＝sin x·(cos x＋1)＝sin xcos x＋sin x， 所以y'＝cos x·cos x＋sin x·＋cos x＝cos 2x＋cos x. (3)y'＝'＝＝. (4)y'＝ ＝ ＝. 学生用书⬇第88页 任务三　导数四则运算法则的应用 角度1　与切线有关的问题 已知f＝aln x－. (1)当a＝1时，求f'； (2)当f'＝1时，求a的值； (3)f在处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值. 解：(1)当a＝1时，f＝ln x－，f'＝＋. (2)由题意知f'＝＋，因为f'＝1， 所以f'＝＋＝1，解得a＝， 所以a＝. (3)由(2)知f'＝＋， 因为f处的切线与直线2x－y＝0平行， 所以f'＝a＋1＝2，解得a＝1.此时f＝－1，所以切线方程为y＋1＝2，即y＝2x－3满足与直线2x－y＝0平行，所以a＝1. 角度2　导数四则运算法则的实际应用 (链教材P77例5)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x％时所需费用(单位：元)为c(x)＝.那么净化到纯净度为90％时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A.－40元/吨 B.－10元/吨 C.10元/吨 D.40元/吨 答案：D 解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝(80＜x＜100)，所以c'(x)＝'＝，又因为c'(90)＝＝40，所以净化到纯净度为90％时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨.故选D. 1.解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”切线的不同. 2.解决导数四则运算法则的实际应用问题时，需要根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义. 对点练3.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为　　　　m/s. 答案： 解析：由题意得s＝t2＋，可得瞬时速度v＝s'＝2t－，故它在第4 s末的瞬时速度为2×4－＝ m/s. 对点练4.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f'(x)＝3x2＋a. 由题意可得f'(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)因为切线与直线l：y＝－x＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)， 由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，则f'(x0)＝3＋1＝4，所以x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18， 即切点坐标为(1，－14)，或(－1，－18). 所以切线方程为y＝4(x－1)－14，或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18，或y＝4x－14. 任务再现 1.导数的四则运算法则. 2.综合运用导数公式和导数四则运算法则求函数的导数、求切线方程和解决实际应用问题 方法提炼 公式法、转化思想、方程思想 易错警示 对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则 学生用书⬇第89页 1.设函数y＝－2exsin x，则y'等于(　　) A.－2excos x B.－2exsin x C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x) 答案：D 解析：y'＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).故选D. 2.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.(x＋)'＝1＋ B.()'＝ C.[(3x＋5)2]'＝2 D.(2x＋cos x)'＝2xln 2－sin x 答案：BD 解析：对于A，(x＋)'＝1－，故A错误；对于B，()'＝＝，故B正确；对于C，[(3x＋5)2]'＝(9x2＋30x＋25)'＝18x＋30，故C错误；对于D，(2x＋cos x)'＝2xln 2－sin x，故D正确.故选BD. 3.(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 答案：C 解析：设曲线y＝处的切线方程为y－＝k(x－1).因为y＝，所以y'＝＝，所以k＝y'＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝处的切线方程为y＝x＋.故选C. 4.球的体积V(单位：cm3)与半径R(单位：cm)的关系为V＝πR3，当R＝4 cm时，体积关于半径的瞬时变化率为　　　　cm2. 答案：64π 解析：由V＝πR3，得V'＝4πR2，所以R＝4 cm时，体积关于半径的瞬时变化率为V'＝4π×42＝64π cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $