5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“导数的几何意义”核心知识点，系统梳理从导数定义到几何意义（切线斜率及方程），再到导函数概念的知识脉络，构建“具体（某点导数）—抽象（导函数）—应用（切线问题）”的学习支架，涵盖导数值与函数变化快慢关系及基础训练。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”辨析切线与曲线交点等易混点，题型分类（切线方程、切点参数、导函数求解）并配“思维建模”提炼方法。以数学眼光观察切线斜率与函数变化，用数学思维推理解题逻辑，课中助力分层教学，课后学生可借例题与训练巩固，有效查漏补缺。

第2课时　导数的几何意义[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0),相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 2.导数值的大小与函数变化的快慢关系 (1)若f'(x0)=0,则函数在x=x0处切线斜率k=0; (2)若f'(x0)>0,则函数在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增且f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快; (3)若f'(x0)<0,则函数在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减且|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快. |微|点|助|解| (1)由导数定义切线具有一般性,初中学过的圆的切线不具有一般性,切线与曲线的交点不一定只有1个. (2)切线的斜率k只与横坐标x0有关,与Δx无关. (3) f'(x0)的正负决定增减,|f'(x0)|的大小决定快慢. 3.导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. |微|点|助|解| 　　函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)与导函数f'(x)之间的区别与联系 区别 (1)f'(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数,不是变量. (2)f'(x)是函数f(x)的导函数,是对某一区间内任意x而言的,即如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f'(x),从而构成了一个新的函数——导函数f'(x) 联系 函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值,也是求函数在x=x0处的导数的方法之一 基础落实训练 1.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 (　　) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 解析:选B　由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由题图可知f'(xA)<f'(xB). 2.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)= (　　) A. B.3 C.4 D.5 解析:选A　由于kl==,∴f'(4)=. 3.已知函数y=f(x),若f'(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是　　　　.  解析:由于f'(x0)>0,说明y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角. 答案: 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 [例1]　若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 (　　) 解析:选A　函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| (1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 (　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 解析:选C　kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 题型(二)　利用导数的几何意义求解切线问题 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上, ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为k= = =4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程. 解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A, 则切线的斜率为k= =, ∴切线方程为y-=(x-x0), 即y=x-+. ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2-+,即-3+4=0. ∴+-4+4=0, ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解:设切点为(x0,y0),由变式拓展1可知切线的斜率为k=,即=1,x0=±1,∴切点为或(-1,1),∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1,即3x-3y+2=0或x-y+2=0. |思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程. (2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　(1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 (2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.  解析:(1)f'(1)===[(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a. 又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,∴f'(1)·=(3+a)·=-1,解得a=1. (2)设切点坐标为(x0,y0),则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2, ∴=4x0+2Δx,∴f'(x0)==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,即x0=. ∴y0=2×+1=,∴切点坐标为. 答案:(1)B　(2) |思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标; (2)利用导数或斜率公式求出斜率; (3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标; (4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标. 　　[针对训练] 2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为　 　　,切点坐标为　　　　.  解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),因为y'==3x2-2x, 则y'=3-2x0=1, 解得x0=1或x0=-. 当x0=1时,y0=-+1=1. 又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去. 当x0=-时,y0=-+1=, 则切点坐标为,将代入直线y=x+a中得a=. 答案:　 3.求函数f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程. 解:设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx, =(2a+Δx)=2a. 所以所求切线的斜率为2a. 因此=2a,解得a=1±, 所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0. 题型(三)　导函数 [例4]　函数f(x)=2-的导函数f'(x)= (　　) A.2- B.- C.2+ D. 解析:选D　由导函数的定义得f'(x)====.故选D. |思|维|建|模| 　　求解f'(x)时,结合导数的定义,首先计算Δy=f(x+Δx)-f(x),再求解,最后得到f'(x)=. 　　[针对训练] 4.已知函数f(x)=x2-x,求: (1)f'(x); (2)f(x)在x=1处的导数. 解:(1)∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=Δx2+2xΔx-Δx,∴=Δx+2x-,∴f'(x)==2x-. (2)f'(1)=2×1-=. 学科网（北京）股份有限公司 $