5.1.2 第1课时 导数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦导数的概念，以平均变化率为起点，通过定义、几何意义及实例（如函数f(x)=x²-1的平均变化率计算）帮助学生理解，进而过渡到导数定义（瞬时变化率），并结合实际问题（如正方形铁板面积随温度变化）深化应用，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料采用“逐点理清式教学”，通过“微点助解”明确概念细节（如Δx的取值范围），“微点练明”设计判断、计算等题型（如导数定义的正误判断），培养学生数学思维（推理能力）与数学语言表达能力，课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

　　　　　　　　 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,进一步体会导数的内涵与思想. 逐点清(一)　函数的平均变化率 [多维理解] 　　对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值,即=叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. |微|点|助|解| (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正、为负,但不为零;Δy是相应函数值的变化量,它既可以为正、为负,也可以等于零. (2)平均变化率即=的几何意义就是函数y=f(x)图象上的两点(x0,f(x0))与(x0+Δx,f(x0+Δx))所在直线的斜率. (3)利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙、不精确”的,只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时,这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”. [微点练明] 1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为 (　　) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 解析:选A　===2.1. 2.已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01. (2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解:(1)∵Δy=h(1+Δx)-h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,∴=-4.9Δx-3.3. ①当Δx=2时,=-4.9×2-3.3=-13.1. ②当Δx=1时,=-4.9×1-3.3=-8.2. ③当Δx=0.1时,=-4.9×0.1-3.3=-3.79. ④当Δx=0.01时,=-4.9×0.01-3.3=-3.349. (2)当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3. 逐点清(二)　导数的定义 [多维理解] 　　如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)==. |微|点|助|解| (1)f'(x0)与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同; (2)f'(x0)与Δx的具体取值无关; (3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称; (4)导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率; (5)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪一种形式,相应的Δy也必须选择对应的形式,即深刻理解定义,牢固掌握概念形式. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. (　　) (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　　) (3)函数f(x)=0没有导函数. (　　) (4)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　) (5)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 (　　) A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 解析:选C　Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),=a+bΔx,当Δx趋近于0时,a+bΔx趋近于a,故f'(x0)=a. 3.如果函数y=f(x)在x=0处的导数为,那么= (　　) A.1 B. C. D. 解析:选B　由题==f'(0)=,故选B. 4.根据导数的定义,求下列函数的导数: (1)函数y=x2+3在x=1处的导数; (2)函数y=在x=2处的导数. 解:(1)因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,所以==2+Δx. 所以y'|x=1==(2+Δx)=2. (2)因为Δy=-=-1=-,所以=-. 所以y'|x=2==-=-1. 5.已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值: (1); (2). 解:(1)∵=f'(x0), 即=f'(x0)=k. ∴=. (2)∵, 即为函数f(x)在区间[x0-Δx,x0+Δx]上的平均变化率. ∴当Δx→0时,必趋近于f'(x0)=k,∴=k, ∴=2k. 逐点清(三)　导数在实际问题中的意义 [典例]　某正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm,其中a为常数,设此时正方形的面积为S cm2,且S=f(t),求f'(0)并解释其实际意义. 解:依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.设t=0时温度的改变量为Δt, 则==200a+100a2Δt. 所以f'(0)=(200a+100a2Δt)=200a. 这表示在0 ℃时,铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.实际意义是,在0 ℃时,温度的改变量Δt ℃很小时,铁板面积的改变量的近似值为200a cm2. |思|维|建|模| 　　导数的物理意义是:函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率. 　　[针对训练] 　蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min). (1)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少? (2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示什么意义? (3)求T'(5),并说明它的实际意义. 解:(1)在t=0 min和t=10 min时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39,T(10)=+15=23,又39-23=16,故从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为=-=-1.6. 它表示从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T'(5)===-1.2, 它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min. 学科网（北京）股份有限公司 $