4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

　第2课时　等差数列的前n项和的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 题型(一)　等差数列前n项和的实际应用 [例1]　某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线? 解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线. |思|维|建|模|　应用等差数列解决实际问题的一般思路 [针对训练] 1.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n,Sn和d求各项的问题,如九儿问甲歌:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七.借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子,不知道他们的出生年月,他们的年龄从大到小排列都差3岁,所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁,其他每个儿子的岁数就可以推算出来,则该问题中老人长子的岁数为 (　　) A.27 B.31 C.35 D.39 解析:选C　依题意,九个儿子的岁数从大到小构成公差为-3的等差数列,设长子的岁数为a1,则9a1+×(-3)=207,解得a1=35,所以该问题中老人长子的岁数为35.故选C. 题型(二)　等差数列前n项和的最值问题 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0); 当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值. [例2]　在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意得解得∴an=3n-12. (2)法一　Sn==(3n2-21n)=-, ∴当n=3或4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小,则 即解得3≤n≤4, 又n∈N*,∴当n=3或n=4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18. 　　[变式拓展] 1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n. 解:法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值,由二次函数的图象可知,其对称轴为x=,所以当x=0和x=7时,图象与x轴的交点为(0,0),(7,0),又n∈N*,所以S7=0,所以n=7. 法二　因为S3=S4,所以a4=S4-S3=0,故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0,所以n=7. 2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 解:法一　要求数列前多少项的和最大,从函数的观点来看,即求二次函数Sn=an2+bn的最大值,故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn最大.由S3=S11,可得3a1+d=11a1+d,即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大. |思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值. (2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值. (3)利用二次函数的图象的对称性. 　　[针对训练] 2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 (　　) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 解析:选BC　a1>0且S6=S9,∴6a1+d=9a1+d,化为a1+7d=0,可得a8=0,d<0.S7或S8为Sn的最大值,S5<S6.故选BC. 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34,即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0. 法一　①当n≤34时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时,同法一. ②当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=-=n2-n+3 502.故Tn= |思|维|建|模| 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解. (2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn= (3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn= (4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= (　　) A.578 B.579 C.580 D.581 解析:选B　当n=1时,a1=S1=14,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2),经检验n=1时,不成立,故得到an=令an<0,则15-2n<0,解得n>,且n≥2,n∈N*.当n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1=(14-n)n+1;当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $