4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 教学重点：1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的实际应用． 教学难点：等差数列前n项和性质的应用． 核心素养：1.在探索等差数列前n项和性质的过程中，发展数学运算素养和逻辑推理素养.2.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养和数学运算素养． 知识点　　等差数列前n项和的性质 1．数列{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔数列为等差数列． [说明]　设等差数列{an}的公差为d，则数列的公差为. 2．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)是等差数列，其公差等于m2d． 3．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 4．(1)等差数列的项数若为2n(n∈N*)项，则S2n＝n(a1＋a2n)且S偶－S奇＝nd，＝． (2)等差数列的项数若为2n＋1(n∈N*)项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1且S奇－S偶＝an＋1，＝． 5．在公差为d的等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 1．(等差数列前n项和的性质)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝(　　) A．12 B．4 C．16 D．20 答案：D 2．(等差数列奇偶项和的性质)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________． 答案：102　100 3．(等差数列前n项和的最值)已知等差数列{an}满足a1＝5，公差d＝－2，则当{an}的前n项和最大时，n＝________． 答案：3 4．(等差数列前n项和在实际中的应用)一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，则这个V形架上共放了________支铅笔． 答案：7260 题型一　等差数列前n项和性质的应用　 　(1)等差数列{an}中，前m项和为30，前2m项和为100，则前3m项和为________． [解析]　解法一：记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 解法二：利用等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d.由已知，得 解得a1＝，d＝，所以S3m＝3ma1＋d＝210. [答案]　210 (2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且＝，则＝________． [解析]　解法一：＝＝＝. 解法二：可设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)，则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t，故＝＝. [答案]　 (3)已知正项等差数列{an}共2025项，求它的奇数项和与偶数项和之比． [解]　等差数列{an}共有1013个奇数项，1012个偶数项， ∴S奇＝，S偶＝. ∵数列{an}为正项等差数列， ∴a1＋a2025＝a2＋a2024≠0，∴＝. 【感悟提升】等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路法：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用等差数列片断和的性质、奇偶项和的性质等进行求解． 【跟踪训练】 1．(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝(　　) A．270 B．108 C．162 D．150 答案：A 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270. (2)已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． 答案： 解析：∵{an}，{bn}为等差数列，且＝，∴设Sn＝kn(2n＋3)，Tn＝kn(n＋1)，k≠0，则a5＝S5－S4＝65k－44k＝21k，b10＝T10－T9＝10k×11－9k×10＝20k，∴＝. (3)一个等差数列的前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝________． 答案： 解析：前20项中，奇数项和S奇＝×75＝25，偶数项和S偶＝×75＝50，又S偶－S奇＝10d，∴d＝＝. 题型二　等差数列前n项和的最值问题　 　设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前几项和最大？并求出最大值． [解]　由题意，可知a1＝25，S17＝S9， 则17a1＋d＝9a1＋d，d＝－2. 解法一：Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169. 故数列的前13项和最大，最大值是169. 解法二：Sn＝n2＋n(d<0)， Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为，即S13最大．如图所示，最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169. 解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13最大，最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169. 解法四：∵a1＝25>0， 由得 ∴当n＝13时，Sn取得最大值，为S13＝13×25＋×(－2)＝169. [条件探究]　本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，Sn最小？ 解：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0， ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1<0，∴a13<0，a14>0， ∴S13最小，∴当n＝13时，Sn最小． 【感悟提升】求解等差数列前n项和最值问题 的常用方法 (1)二次函数法 先求得Sn的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n的值有两个，有时为一个． (2)邻项变号法 ①当a1>0，d<0时，数列{an}只有前几项为正数，Sn有最大值，无最小值．若an>0，an＋1<0，则Sn为最大值；若an＋1＝0，则Sn与Sn＋1相等，均为最大值； ②当a1<0，d>0时，数列{an}只有前几项为负数，Sn有最小值，无最大值．若an<0，an＋1>0，则Sn为最小值；若an＋1＝0，则Sn与Sn＋1相等，均为最小值． 【跟踪训练】 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)数列{an}的前几项和最大？并说明理由． 解：(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d， ∵S12>0，S13<0， ∴即 解得－<d<－3，即公差d的取值范围为. (2)∵S12>0，S13<0， ∴∴∴a6>0， 又由(1)知d<0. ∴数列{an}的前6项为正，从第7项起为负， ∴数列{an}的前6项和最大． 题型三　等差数列前n项和在实际中的应用　 　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月应交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？ [解]　由于购买当天先付150元，则欠款1000元，依题意知，应分20次付款，故设每次付款数额依次为a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以S20＝×20＝1105(元)， 即付清全部贷款后，买这件家电实际花费1105＋150＝1255(元)． 【感悟提升】利用等差数列解决实际问题的一般思路 【跟踪训练】 3．流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重．我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人．为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病毒传播．从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人．设12月第n天，该市新增患者人数最多． (1)求第n天的新增患者人数(结果用n表示)； (2)求前n天的新增患者的人数之和(结果用n表示)； (3)若截止至12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求n的值． 解：(1)12月1～n日，每天新增患者人数构成等差数列，其首项为20，公差为50，第n天的新增患者人数为an＝50n－30(1≤n≤30且n∈N*)． (2)前n天的新增患者总人数为Sn＝20n＋×50＝25n2－5n(1≤n≤30且n∈N*)． (3)12月n＋1～30日，每天新增患者人数构成另一个等差数列，其首项为20＋(n－1)·50－30＝50n－60，公差为－30，项数为(30－n)，所以n＋1～30日新增患者总人数为T30－n＝(50n－60)(30－n)＋·(－30)＝－65n2＋2445n－14850. 由题意，得Sn＋T30－n＝8670，整理，得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49. 因为1≤n≤30且n∈N*，所以n＝12. 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30＝(　　) A．30 B．25 C．20 D．15 答案：D 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15. 2．已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 答案：B 解析：奇数项共有n＋1项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，∴(n＋1)·an＋1＝290.偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261，∴an＋1＝290－261＝29.故选B. 3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以＝＝＝，又＝，所以＝＝，即＝.故选D. 4．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S32>S30>S31，则下列说法正确的是(　　) A．a31<0 B．d<0 C．当n＝31时，Sn取得最小值 D．使Sn<0成立的n的最大值为62 答案：AC 解析：由题意可知a31＝S31－S30<0，故A正确；又a32＝S32－S31>0，所以d＝a32－a31>0，故B不正确；因为a31<0，a32>0，所以当n＝31时，Sn取得最小值，故C正确；因为S32－S30＝a31＋a32>0，所以S61＝＝61a31<0，S62＝＝31(a31＋a32)>0，所以使Sn<0成立的n的最大值为61，故D不正确．故选AC. 5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________． 答案：18 解析：设得到橘子最少的人分到的橘子个数为a1，由题意，得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6.则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，所以得到橘子最多的人所得的橘子个数是18. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列的应用 等差数列前n项和的最值问题 等差数列的奇(偶)项和问题 等差数列前n项和的实际应用(数学文化问题) 等差数列前n项和的正负、前n项和的最值 等差数列前n项和的最值问题 求数列中的项 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 等差数列前n项和的实际应用(植树问题) 等差数列前n项和的最值问题 等差数列前n项和的实际应用(工程问题) 等差数列中与的关系 等差数列的奇(偶)项和问题 等差数列的证明；等差数列前n项和的最值问题 等差数列前n项和的实际应用(销售问题) 一、选择题 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由等差数列的前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12仍成等差数列．设S4＝k(k≠0)，则S8＝3k，∴S8－S4＝2k，∴S12－S8＝3k，S16－S12＝4k，∴S12＝S8＋3k＝6k，∴S16＝S12＋4k＝10k，∴＝＝. 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A 解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，则公差d＝＝＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－11＋(n－1)×2＝2n－13，∴{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取得最小值． 3．设等差数列的项数n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意知，奇数项有项，偶数项有项，由等差数列奇偶项和的性质可知，奇数项之和与偶数项之和的比为奇数项与偶数项的项数之比，故奇数项之和与偶数项之和的比为.故选D. 4．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”(　　) A．6天，495人 B．7天，602人 C．8天，716人 D．9天，795人 答案：B 解析：设第n天派出的人数为an，则{an}是以65为首项，7为公差的等差数列，且a1＋a2＋a3＝216，an－2＋an－1＋an＝300，∴a1＋an＝＝172，an＝107，∴n＝＋1＝7，则目前派出的人数为S7＝＝602.故选B. 5．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，公差为d，a8＋a9>0，a9<0，则(　　) A．d<0 B．当n＝8时，Sn取得最大值 C．a4＋a5＋a18<0 D．使得Sn>0成立的最大自然数n是15 答案：ABC 解析：因为a8＋a9>0，a9<0，所以a8>0，则d<0；当n＝8时，Sn取得最大值；a4＋a5＋a18＝3a1＋24d＝3a9<0；因为S15＝15a8>0，S16＝8(a8＋a9)>0，S17＝17a9<0，所以使得Sn>0成立的最大自然数n是16.故选ABC. 二、填空题 6．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1<0，S3＝S11，则当n＝________时，Sn最小． 答案：7 解析：因为{an}为等差数列，不妨设其公差为d，易知d>0，则Sn＝n2＋n，即Sn是关于n的二次函数，又S3＝S11，所以Sn关于n＝＝7对称，由二次函数的性质知，当n＝7时，Sn最小． 7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，－＝2，则＝________． 答案：2024 解析：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴是等差数列，设其公差为d.∵－＝2，∴2d＝2，d＝1，∵a1＝－2，∴＝－2，∴＝－2＋(n－1)×1＝n－3，∴＝2027－3＝2024. 8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 答案：2000 解析：假设开始时将树苗集中放置在第n个树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20×＝20(n2－21n＋210)＝20，因为n∈N*且1≤n≤20，所以当n＝10或11时，S取最小值，且最小值为2000米． 三、解答题 9．在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12>S9，a2＋a21<0；③S9>0，S10<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若________，判断Sn是否存在最大值？若存在，求出当Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：设等差数列{an}的公差为d. 选①：∵a5＝6，a1＋S3＝50，∴ 解得∴an＝14－2(n－1)＝16－2n， 解法一：当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8， ∴当n≤7时，an>0；当n＝8时，an＝0；当n≥9时，an<0， ∴当n＝7或n＝8时，Sn取最大值． 解法二：Sn＝＝－n2＋15n＝－＋， ∴当n＝7或n＝8时，Sn取最大值． 选②：由S12－S9>0，得a12＋a11＋a10>0， 由等差中项的性质有3a11>0，即a11>0， 由a2＋a21<0，得a2＋a21＝a11＋a12<0， ∴a12<0，故d＝a12－a11<0， ∴当n≤11时，an>0，当n≥12时，an<0， ∴当n＝11时，Sn取最大值． 选③：由S9>0，得S9＝＝>0，可得a5>0， 由S10<0，得S10＝＝<0， 可得a5＋a6<0， ∴a6<0，故d＝a6－a5<0， ∴当n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0， ∴当n＝5时，Sn取最大值． 10．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列， 且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车工作的时间为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋＝500，总共需要工作的时间为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 11．已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使为整数的正整数n的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：由题意，可得＝，则＝＝＝＝＝＝7＋，所以当n＝1，2，4，8时，为整数，即使为整数的正整数n的个数是4.故选C. 12．在等差数列{an}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是第________项；若此数列的项数为偶数，且公差为－，则此数列的项数为________． 答案：4　44 解析：若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则奇数项之和S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan，偶数项之和S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an，所以＝＝，解得n＝4，所以此数列的中间项是第4项．若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S偶－S奇＝nd，所以－11＝－n，所以n＝22，故此数列的项数为44. 13．已知数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，且2Sn＝(a1＋an)n. (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若数列{an}的公差为，an>0，＋＋…＋＝，当取最小值时，求n的值． 解：(1)证明：当n≥2时，由题意，得2Sn＝(a1＋an)n，2Sn－1＝(a1＋an－1)(n－1)， 两式相减，得(n－2)an＝(n－1)an－1－a1， 所以(n－1)an＋1＝nan－a1， 两式相减，得(n－1)an＋1＋(n－1)an－1＝2(n－1)an， 所以an＋1－an＝an－an－1， 所以an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1， 即数列{an}为等差数列． (2)因为数列{an}的公差为， 所以＝3， 故＋＋…＋ ＝3 ＝3＝3 ＝3＝， 整理，得a＋3a1－18＝0，解得a1＝3或a1＝－6(舍去)， 所以Sn＝3n＋×＝， 则＝＝， 由对勾函数的性质可知，当n≤7时，数列为递减数列，当n≥8时，数列为递增数列， 当n＝7时，＝，当n＝8时，＝， 由于>，故当取最小值时，n＝8. 14．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件． (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？ 解：(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件． 由题意，知解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件． (2)设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝ ∴Sn＝ ∵S13＝273>200， ∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降， 由an<20，得23≤n≤31， ∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $