4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.　　　2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. 　1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| (1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为. (2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. (4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶-S奇=-an+1,=(S奇≠0). (6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n). |微|点|助|解| 　　上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列. 基础落实训练 1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:选B　等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1. 2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= (　　) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 解析:选D　由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 (　　) A.72 B.54 C.36 D.18 解析:选A　由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以S8==4(a4+a5)=4×18=72,故选A. 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　(1)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,求公差d; (2)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n; (3)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10. 解:(1)由等差数列的前n项和公式可得S10==5(a1+10)=70, 解得a1=4,∴d==. (2)由题设可得解得或 (3)由题设可得 即解得故a10=2+3×(10-1)=29. 　　[变式拓展] 　本例(2)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d. 解:法一　由 得解得 法二　∵a1=3,an=11,Sn=35,∴35==7n,即n=5.又11=3+(5-1)d,∴d=2. 　　|思|维|建|模| (1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2r,则2ar=am+an,常与求和公式Sn=结合使用. 　　[针对训练] 1.(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7= (　　) A.-2 B. C.1 D. 解析:选D　法一:利用等差数列的基本量　由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1⇔9a1+36d=1. 又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=. 法二:利用等差数列的性质　根据等差数列的性质,得a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式, S9===1,故a3+a7=. 法三:特殊值法　不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1⇒a1=,则a3+a7=2a1=. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　.  解析:法一　设等差数列{an}的公差为d,则由a2+a6=2,得a1+d+a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所以S10=10×(-2)+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a6=2a4=2,所以a4=1,所以d===1,所以S10=10×(-2)+×1=25. 答案:25 题型(二)　等差数列前n项和公式的应用 [例2]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式an; (2)求证:数列{an}是等差数列. 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3(n-1)2-4(n-1)=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4=7,满足an=6n+1, 即数列{an}的通项公式an=6n+1. (2)证明:∵an=6n+1,∴当n≥2时,an-an-1=6n+1-6(n-1)-1=6为常数,则数列{an}是等差数列. 　　[变式拓展] 　若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N*).求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由. 解:不是,理由如下:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3(n-1)2-4(n-1)-1=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4+1=8, 不满足an=6n+1,所以an= 显然{an}不是等差数列. |思|维|建|模| 　　由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列. 　　[针对训练] 3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. (1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列; (2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件. 解:(1)证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,S1=25-2=23,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得数列{an}是公差为-4的等差数列. (2)Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0. 题型(三)　等差数列前n项和的性质及应用 [例3]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. 解:法一　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵S10=100,S100=10, ∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 法二　设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn. 由题设条件可知 解得故S110=-×1102+×110=-110. 法三　∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列, 设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22, ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 法四　由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,b10==, 则d=(b10-b1)=×=-,所以b11==b10+d=+=-1, ∴S110=-110. 法五　直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可得S110=-110. |思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解. 　　[针对训练] 4.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 解析:选B　根据等差数列前n项和的性质可得==,解得n=10. 5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6,则S2 025=　　　　.  解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1,所以S2 025=1×2 025=2 025. 答案:2 025 学科网（北京）股份有限公司 $