4.2.2等差数列的前n项和公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的前n项和公式 【学习目标】 1.掌握等差数列前项和公式的推导方法． 2.理解等差数列前项和的公式并熟练掌握基本量的运算. 【学习重难点】重点：等差数列前项和中基本量的计算. 难点：等差数列前项和公式的推导方法. 【知识梳理】 一、等差数列的前项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 【说明】 （1）公式一反映了等差数列的性质，任意第项与倒数第项的和都等于首末两项之和. （2）由公式二知时，；时，等差数列的前项和是关于的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的表示的是所求等差数列的项数. 二、等差数列前项和的最值 （1）利用通项公式 若，，则必有最大值，其可由不等式组来确定； 若，，则必有最小值，其可由不等式组来确定. （2）利用求和公式 对于公差为非零的等差数列，由于，所以可用求函数最值的方法来求前项和的最值.这里应由及二次函数图象对称轴的位置来确定的值. 【概念辨析】 1．在等差数列中，其前项和为.若，，则＝________. 2．已知数列是等差数列，且，那么数列的前项和为________． 【典例分析】 例1、在等差数列中： （1）已知，求和； （2）已知，，求和. （3），，，求和. 例2、若数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.若改为又如何？（总结和的函数性质） 例3、在等差数列中，，，求前项和的最大值. 变式、设等差数列的前项和为，已知，且，. (1)求公差的取值范围. (2)问前几项和最大？并说明理由． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列的前n项和公式 【学习目标】 1.掌握等差数列前项和公式的推导方法． 2.理解等差数列前项和的公式并熟练掌握基本量的运算. 【学习重难点】 重点：等差数列前项和中基本量的计算. 难点：等差数列前项和公式的推导方法. 【知识梳理】 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；S=2+4+6+8+10+12+14=2×（1+2+3+4+5+6+7），根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 问题2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S=，可见，结果与项数的奇偶无关. 方法二　（如图）在原式的基础上，再加一遍1+2+3+…+n， 即S=1+2+3+…+n， S=n+（n-1）+（n-2）+…+1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和. 【知识梳理】 一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 【说明】（1）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式二知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 二、等差数列前n项和的最值 （1）利用通项公式 若＞0，d<0，则Sn必有最大值，其n可由不等式组来确定； 若＜0，d>0，则Sn必有最小值，其n可由不等式组来确定. （2）利用求和公式 对于公差为非零的等差数列，由于，所以可用求函数最值的方法来求前n项和Sn的最值.这里应由及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值. 【概念辨析】 1．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若S2＝4，S4＝9，则S6＝________. 15 【解析】 因为S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以2×5＝4＋(S6－9)，所以S6＝15. 2．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，那么数列{an}的前11项和为________． 22 【解析】 因为数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，所以数列{an}的前11项和S11＝＝22 【典例分析】 例1、在等差数列｛an｝中： （1）已知a6=10，S5=5，求a8和S10； （2）已知a1=4，S8=172，求a8和d. （3）a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 解　（1） 解得 ∴a8=a6+2d=10+2×3=16， S10=10a1+d=10×（-5）+5×9×3=85. （2）由已知得S8===172， 解得a8=39， 又∵a8=4+（8-1）d=39， ∴d=5. ∴a8=39，d=5. （3）由题意得，Sn===-5， 解得n=15. 又a15=+（15-1）d=-， 解得d=-， 所以n=15，d=-. 例2、若数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-3n，求数列｛an｝的通项公式，并判断数列｛an｝是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.若改为Sn=2n2-3n-1又如何？（总结和的函数性质） 解　当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-2（n-1）2+3（n-1）=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列｛an｝是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4（n+1）-5-4n+5=4， 所以数列｛an｝是等差数列. 例3、在等差数列｛an｝中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 解　方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×（-2）=-n2+26n =-（n-13）2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+（n-1）×（-2）=-2n+27. 因为a1=25>0， 由得 又因为n∈N*， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值. 由a13+a14=0，得a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×（-2）=169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为n==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得 解得 所以Sn=-n2+26n， 所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 变式、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围. (2)问前几项和最大？并说明理由． (1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d.因为S12＞0，S13＜0，所以 即所以－＜d＜－3.即d的取值范围是. (2)因为S12＞0，S13＜0，所以所以所以a6＞0，又由(1)知d＜0. 所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列的前6项和最大． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $