4.2.1 第3课时 等差数列的性质及综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第3课时　等差数列的性质及综合应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算. 题型(一)　等差数列的性质 (1)an=am+(n-m)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d=. (2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq. ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+=…. (3)若{an}是公差为d的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列; ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列; ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列. [例1]　(1)在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= (　　) A.-1 B.2 C.4 D.6 (2)[多选]已知各项均为正数的等差数列{an}是递增的,且a5=2,则 (　　) A.公差d的取值范围是 　　　　　B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 　　　　　D.a1+a9=4 解析:(1)由题意知a10-a2=8d,即8d=16,d=2. (2)由题意得d>0,a1>0,a5=2, 所以a1=2-4d>0,解得d<,所以d∈,故A错误;由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确;由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,故D正确. 答案:(1)B　(2)BCD 　　[变式拓展] 1.若本例(1)改为“a10=18,d=2”,则a5=　　　　.  解析:由a10=a5+5d得a5=a10-5d=18-5×2=8. 答案:8 2.若本例(1)改为“a2+a10=6”,则S11=　　　　.  解析:S11=a1+a2+a3+…+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6=5(a2+a10)+=33. 答案:33 |思|维|建|模| (1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. ②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar. 　　[针对训练] 1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 (　　) A.84 B.72 C.60 D.48 解析:选C　在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C. 2.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　　) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 解析:选BD　设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. 题型(二)　由等差数列构造新数列 [例2]　已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项? 解:(1)设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3,根据bn=b1+(n-1)d,有b5=b1+4d,即3=2+4d,所以d=,所以bn=2+(n-1)×=.又因为an=a1+(n-1)×1=n+1=,所以an=b4n-3,即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时,4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项. (2)由(1)知an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8, 即新数列的第29项是原数列的第8项. |思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断: (1)定义:an+1-an是否为常数; (2)通项公式是否为关于n的一次函数. 　　[针对训练] 3.在a和b两数之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意知该数列共有n+2项,设该数列的公差为d,则d==.故选B. 4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 (　　) A.15 B.16 C.17 D.18 解析:选B　易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2,所以通项公式为an=12n-10,所以12n-10≤190,解得n≤,又n∈N*,所以n的最大值为16. 题型(三)　等差数列的综合应用 [例3]　在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7. (1)求通项公式an. (2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn?请说明理由. 解:(1)∵a2+a10=a5+a7=7,又∵a5a7=12, ∴或当时,an=-n+,不恒为正,舍去. ∴∴an=n+. (2)bn=an+t=n+t+,b2n=n+t+, ∴n+t+=n+2t+1, ∴t=-,∴bn=n. ∵bkn=kn=kbn,∴恒有bkn=kbn. |思|维|建|模| 解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 　　[针对训练] 5.已知公差不为0的等差数列{an}满足am+ap=2a5,则+的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选C　根据等差数列性质可得m+p=10,则(m+2)+p=12,∴+=(m+2+p)=≥=,当且仅当=,即p=4,m=6时,等号成立.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $