4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解等差数列、等差中项的概念,会求两个数的等差中项. 2.掌握等差数列通项公式.能运用通项公式解决一些简单的问题. 逐点清(一)　等差数列的有关概念 [多维理解] 　　等差数列的定义 (1)文字语言:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. (2)符号语言:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列或an-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*)⇔{an}是等差数列. |微|点|助|解| 　　对等差数列概念的解读 (1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数; (4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞). [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列 B.若an+1-an=n(n∈N*),则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 解析:选A　对于A,由a-b=b-c,可得b-a=c-b,因此a,b,c成等差数列,故A正确;对于B,n不是固定常数,因此该数列不是等差数列,故B不正确;对于C,公差d可以等于0,故C不正确;对于D,d=an-an-1(n≥2,n∈N*),而an-1-an=-d(n≥2,n∈N*),但-d不是等差数列的公差,故D不正确. 2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 (　　) A.7,13,19,25,31 B.1,1,2,3,…,n C.9,9,9,9,… D.数列{an}满足an+1-an=3 解析:选AD　因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0,所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为1-1=0≠2-1,所以B中数列不是等差数列.因为9-9=9-9=…=0,所以C中数列是公差为0的等差数列,但不是递增数列.因为an+1-an=3>0,所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列. 3.下列数列的通项公式中,能得到{an}为等差数列的是 (　　) A.an=n2+2 B.an=2n+2 C.an=2n+2 D.an=log2n+2 解析:选B　对于A,an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1不为常数,故A错误;对于B,an+1-an=2(n+1)-2n=2为常数,故B正确;对于C,an+1-an=2n+1-2n=2n不为常数,故C错误;对于D,an+1-an=log2(n+1)-log2n=log2不为常数,故D错误.故选B. 逐点清(二)　等差中项 [多维理解] 　　等差中项 (1)条件:如果a,A,b成等差数列. (2)结论:那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是2A=a+b. |微|点|助|解| (1)任意两个实数都有等差中项,且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=. (3)等差数列{an}中,an是an-k与an+k的等差中项,注意序号间的关系. [微点练明] 1.x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于 (　　) A.0 B.10 C.20 D.不确定 解析:选C　因为x+1与y-1的等差中项为10,所以(x+1)+(y-1)=2×10,所以x+y=20. 2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于　　　　.  解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°. 答案:60° 3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,∴b==3. 又a是-1与3的等差中项,∴a==1. 又c是3与7的等差中项,∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. 逐点清(三)　等差数列的通项公式 　　等差数列的通项公式 　　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. |微|点|助|解| (1)等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列. (2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n求an 知a1,d,an求n 知a1,n,an求d 知d,n,an求a1 [典例]　在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7. (1)求数列的第10项; (2)112是数列{an}的第几项? (3)80到110之间有多少项? 解:(1)设数列{an}的公差为d, 则解得则a10=a1+9d=-2+27=25. (2)由(1)知an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39.所以112是数列{an}的第39项. (3)由80<3n-5<110,解得28<n<38,所以n的取值为29,30,…,38,共10项. 　　|思|维|建|模|　求等差数列通项公式的步骤 　　[针对训练] 　在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求: (1) a4; (2)数列{an}的通项公式. 解:(1)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84, 所以3a4=84,所以a4=28. (2)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73, 所以解得 得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8,所以an=9n-8. 学科网（北京）股份有限公司 $