4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　数列的递推公式与前n项和[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 3.理解数列的前n项和,会用数列的前n项和公式求数列的通项公式. 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. |微|点|助|解| (1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值. (2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可. 2.数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an. (2)数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)an与Sn的关系:an=. |微|点|助|解| (1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4. (2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法. (　　) (2)所有数列都有递推公式. (　　) (3)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.在数列{an}中,a1=-1,=an-3,则a3等于 (　　) A.-7 B.-4 C.-1 D.2 解析:选A　a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7. 3.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.6 解析:选C　∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,∴S1=0,S3=8,∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5. 4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则an=　　　　.  解析:当n=1时,a1=S1=-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-4n+2.显然n=1时符合,故an=-4n+2. 答案:-4n+2 题型(一)　由数列的递推公式求数列的项 [例1]　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,∴b1==,b2==,b3==,b4==. 故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=. |思|维|建|模| 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项. 解:∵a1=1,an+1=,∴a2==,a3===, a4===,a5===.故该数列的前5项为1,,,,. 题型(二)　由递推公式求数列的通项公式 方法1　累加法求通项公式 [例2]　在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an= (　　) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 解析:选A　法一:归纳法　由题意得数列的前5项分别为a1=2,a2=2+ln=2+ln 2,a3=(2+ln 2)+ln=2+ln 3,a4=(2+ln 3)+ln=2+ln 4,a5=(2+ln 4)+ln=2+ln 5,…,由此猜想数列的一个通项公式为an=2+ln n.经检验符合题意. 法二:迭代法　由题意得an=an-1+ln=an-1+ln (n≥2), 则an=an-1+ln=an-2+ln+ln=…=a1+ln+ln+ln+…+ln=a1+ln=2+ln n(n≥2). 又a1=2=2+ln 1,符合上式,所以an=2+ln n. 法三:累加法　由题意得an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-ln n,因此,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式两边分别相加, 得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln n-ln(n-1)](n≥2).所以an=2+ln n(n≥2). 因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n. |思|维|建|模| 累加法求数列通项公式 　　形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式. 方法2　累乘法求通项公式 [例3]　设数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求通项公式. 解:∵a1=1,an=an-1(n≥2),∴=,an=···…···a1=···…···1=. 又a1=1也符合上式,∴an=. |思|维|建|模| 累乘法求数列通项公式 　　形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.以上方法叫做累乘法. 　　[针对训练] 2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则a2 026的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　∵an+1=an,即=,∴an=···…···a1=···…···2=,∴a2 026==. 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an=　　　　.  解析:由题意得,an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2,又a1=1适合上式,∴an=2n-1,n∈N*. 答案:2n-1 4.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2n-1,n∈N*,求数列{an}的通项公式. 解:因为an+1-an=2n-1,n∈N*,所以当n>1,n∈N*时,有an-an-1=2n-3,因此有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,即an=(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+…+1+1=+1=n2-2n+2,当n=1时,适合上式,所以an=n2-2n+2,n∈N*. 题型(三)　数列的前n项和公式及应用 [例4]　设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an. 解:因为Sn=2n2-30n,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28, 当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时上式成立,所以an=4n-32,n∈N*. 　　[变式拓展] 　将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”,其他条件不变,求an. 解:因为Sn=2n2-30n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27, 当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时不符合上式.所以an= |思|维|建|模| 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 　　[针对训练] 5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则下列说法正确的是 (　　) A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) 解析:选AD　因为Sn=2n+1-1,所以当n=1时,a1=S1=21+1-1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.当n=1时,不符合上式,故an= 6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4<ak<7,则k=　　　　.  解析:a1=S1=-7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9,由4<ak<7得4<2k-9<7,得<k<8,因为k为正整数,所以k=7. 答案:7 学科网（北京）股份有限公司 $