4.1.2数列的递推公式与前n项和导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的递推公式与前n项和 【学习目标】 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列特定项. 3.理解数列的前项和,会由数列的前项和公式求数列的通项公式. 【学习重难点】重点：理解数列的递推公式. 难点：由前项和求数列通项公式. 【知识梳理】 一、数列的递推公式 如果一个数列的 或 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 【说明】 (1)通项公式与递推公式的区别: ①通项公式反映的是与的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系; ②若已知的值,则由通项公式可直接求出的值,而通过递推公式只能间接求出的值. (2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可. 二、数列的前项和公式 (1)数列的前项和 把数列从第项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即= . (2)数列的前项和公式 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. (3)与的关系: . 【说明】 (1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如. (2) 中不包括,故一定要检验时,是否满足首项. 【概念辨析】 1.在数列中, ,,则等于 . 2.数列的前项和,若,且,则 . 【典例分析】 例1、若数列满足，，求，. 例2、设为数列的前项和, .求及. 变式1、设为数列的前项和, .求及. 变式2、在数列中，，则 . 例3、（拓展）（1）在数列中，，，则等于 . 累加法： （2）已知数列满足，，则等于 . 累乘法： 【当堂训练】 1.已知数列的第项,以后的各项由公式给出,试写出这个数列的前项，并猜想其通项公式. 2. 已知为数列的前项和，，则= . 3. 在数列中, ,,则= . 4. 已知数列的通项公式是.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的递推公式与前n项和 【学习目标】 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列特定项. 3.理解数列的前n项和,会由数列的前n项和公式求数列的通项公式. 【学习重难点】 重点：理解数列的递推公式 难点：由前n项和求数列通项公式. 【知识梳理】 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 说明：(1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值. (2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可. 2.数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an. (2)数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)an与Sn的关系:an=. 说明：(1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4. (2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项. 【概念辨析】 1.在数列{an}中,a1=-1,=an-3,则a3等于 (　 ) A.-7 B.-4 C.-1 D.2 解析:选A　a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7. 2.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.6 解析:选C　∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,∴S1=0,S3=8,∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5. 【典例分析】 例1、若数列｛an｝满足a1=2，=，n∈N*，求a6，a2 024. 解　a2===-3， a3===-， a4===， a5===2， a6===-3. a5=a1=2，a6=a2=-3，…， ∴｛an｝是周期为4的周期数列， ∴a2 024=a4×505+4=a4=. 例2、设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an. 解:因为Sn=2n2-30n,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28, 当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时上式成立,所以an=4n-32,n∈N*. 变式1、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求a1及an. 解:因为Sn=2n2-30n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27, 当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时不符合上式.所以an= 例3、（拓展）（1）在数列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，则an等于（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　（归纳法）数列的前5项分别为 a1=1，a2=1+1-=2-=， a3=+-=2-=， a4=+-=2-=， a5=+-=2-=， 又a1=1， 由此可得数列的一个通项公式为an=. 方法二　（迭代法）a2=a1+1-， a3=a2+-，…， an=an-1+-（n≥2）， 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=（n≥2）. 又a1=1也适合上式， 所以an=（n∈N*）. 方法三　（累加法）　an+1-an=-， a1=1， a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， … an-an-1=-（n≥2）， 以上各项相加得 an=1+1-+-+…+-. 所以an=（n≥2）. 因为a1=1也适合上式， 所以an=（n∈N*）. （2）已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an，则an等于（　　） A.n+1 B.n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列｛an｝满足an+1=an，所以=， 所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=. 当n=1时，a1=1满足上式，所以an=（n∈N*）. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.（只适用于选择题、填空题） （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法. ②an+1=pan（p为非零常数），或an+1=f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q（p，q为非零常数），适当变形后转化为第②类解决. 【当堂训练】 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项，并猜想其通项公式. 解:∵a1=1,an+1=, ∴a2==,a3===, a4===,a5===. 故该数列的前5项为1,,,,. 2. 已知Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn=3n-1，求｛an｝的通项公式. 解　（1）当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-（3n-1-1） =2×3n-1，显然a1=2适合上式， 所以an=2×3n-1（n∈N*）. 3. 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an= (　 ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 解析:选A 4. 已知数列｛an｝的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解　方法一　==·， 当n<2时，>1，即an+1>an； 当n=2时，=1，即an+1=an； 当n>2时，<1，即an+1<an. 则a1<a2=a3>a4>a5>…， 故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 方法二　根据题意，令 即 解得2≤n≤3. 又n∈N*，则n=2或n=3. 故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $