4.2.2 等差数列的前n项和公式 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

课题 等差数列的前n项和公式（第一课时） 教学目标 1. 掌握等差数列前n项和公式的推导方法，提升逻辑推理素养. 2. 掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题， 体会方程思想，提高数学运算素养. 教学重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用. 教学难点：等差数列前n项和公式的推导. 教学过程 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) 3. 等差数列的性质：且 则 一、情景引入 问题1：1＋2＋3＋⋯＋100＝? 高斯小故事： 很多同学都听说过这样一个故事，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋⋯＋100＝? 当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：1+2+3+⋯+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050 【教师设疑】1.高斯采用的是什么算法? 2.利用了等差数列的什么性质? 3.高斯求和法的实质是什么? 【设计意图】引出高斯首尾配对的方法,即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算. 二、新知探究 问题2：你能用上述方法计算1+2+3+⋯+100+101吗? 整理学生思路： 思路1 原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151. 思路2 原式=(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)+101=101×50+101=5151. 思路3 原式=(1+2+3+⋯+100+101+102)−102 =(1+102)+(2+101)+⋯+(51+52)+101=103×51−102=5151. 思路4 原式=0+1+2+3+⋯+100+101 =(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51=5151. 【学生活动】让学生分组讨论，探究不同的做法. 【设计意图】为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫. 问题3： 计算1+2+3+…+n=？ 【师生活动】学生分小组讨论，引导学生根据刚才两个具体数的计算考虑需要分奇数项和偶数项两种情况。 教师整理学生思路： 当是偶数时，有 于是有 ． 当是奇数时，有 ． 所以，对任意正整数，都有 【教师设疑】我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否避开讨论实现“配对”，将“不同数的求和”划归为“相同数的求和”呢? 【师生共同归纳】如果对公式做变形，可得 相当于两个相加，结果变成个相加. 受此启发，我们得到下面的方法： 将上述两式相加，可得 所以 问题4：上述方法的妙处在哪里?这种方法能够推广到求一般等差数列的前n项和吗? 【学生活动】上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列,因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 【教师设疑】等差数列前n项和公式有什么特点? 【学生活动】只要知道首项和末项就可以求得前n项和. 【教师设疑】只要知道等差数列的首项和公差，数列就完全确定了，那么你能根据等差数列的首项和公差得到它的前n项和公式吗? 【学生活动】因为，故 【设计意图】推导等差数列的前项和公式，既让学生经历“类比--迁移”的过程，获得发现公式的体验，又让学生体会“倒序相加法”的数学方法的美妙. 三、典例分析 例1：已知数列是等差数列. (1)若； (2)若； (3)若 解：（1）因为由公式，可得 . （2）因为所以根据公式，可得 （3）把代入，得 整理，得 ，解得 所以 【师生活动】学生课堂自己计算，教师巡视，找学生黑板板演，有问题及时指出. 【设计意图】熟悉等差数列前项和公式；熟练等差等差数列前项和公式与等差数列基本量之间的关系. 四、课堂小结 学生总结这节课都有什么收获? 一个方法，两个公式，三个思想. 【设计意图】检验学生的学习情况 五、课后作业 P24 习题4.2 1题 学科网（北京）股份有限公司 $