4.1 第1课时 数列的概念与表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

　 数　列 4.1　数列的概念 　　第1课时　数列的概念与表示[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由数列通项公式写出数列的任意一项,理解数列是一种特殊的函数. 逐点清(一)　数列的概念与分类 [多维理解] 1.数列的概念 (1)一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. (2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 |微|点|助|解| (1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项. (2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. [微点练明] 1.下列各项表示数列的是 (　　) A.a,b,c,…,x,y,z B.2 019,2 020,2 021,…,2 025 C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,2a 解析:选B　数列必须由数组成,A、C、D中均不是数. 2.[多选]下列有关数列的说法正确的是 (　　) A.数列{an}中,若a3=3,则从第二项起,各项都不等于3 B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列 C.数列4,7,3,4的首项为4,末项为4 D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析:选CD　常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;由数列的定义可知首项为4,末项也为4,故C正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确. 3.已知下列数列: ①2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025;②1,,,…,,…;③1,-,,…,,…; ④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有穷数列是　　　,无穷数列是　　　,递增数列是　　　,递减数列是　　　,常数列是　　　,摆动数列是　　　.(填序号)  答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④ 逐点清(二)　数列的通项公式 [多维理解] 　　如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. |微|点|助|解| (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项. (2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=cos nπ(n∈N*)的形式等. (4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. [微点练明] 1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为 (　　) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 解析:选A　当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 (　　) A.380 B.392 C.321 D.232 解析:选A　n=19时,n(n+1)=380. 3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 (　　) A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析:选D　因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=2 026-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　.  解析:由an=2 026-3n>0,解得n<=675+,因为n∈N*,所以正整数n的最大值为675. 答案:675 5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1)a,b,a,b,…; (2),,,,…; (3)1,-3,5,-7,9,…; (4)-,,-,,…; (5),2,,8,,…; (6)-3,33,-333,3 333,…. 解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N*. (2)这个数列的前4项为,,,, 其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N*. (3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,且奇数项为正,偶数项为负,故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*. (4)这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=,n∈N*. (5)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,该数列为,,,,,…,其分母都是2,分子都是序号的平方,故an=,n∈N*. (6)因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),-333=(-1)3××(1 000-1), 所以an=,n∈N*. 逐点清(三)　数列的函数特性 [典例]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 解:法一:作差法　an+1-an=(n+2)-(n+1)·=, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10,且a10>a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. 法二:邻项变号法　根据题意,令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*,则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. 　　[变式拓展] 　若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解. 解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,…. ∵当n≥3时,=×==<1,∴an+1<an,即n≥3时,{an}是递减数列. 又∵a1<a2<a3,∴an≤a3=.∴当n=3时,a3=为这个数列的最大项. |思|维|建|模| 数列单调性的判断方法和应用思路 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法. (2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系: 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*); 数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*). 转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围. 　　[针对训练] 已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是　　　　.  解析:法一　由数列{an}为递增数列, 则an+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成立,即t>-(2n+1)恒成立. 而n∈N*,所以t>-3, 故t的取值范围是(-3,+∞). 法二　an=n2+tn=-, 由于n∈N*,且数列{an}为递增数列, 结合二次函数的图象可得-<, 解得t>-3,故t的取值范围是(-3,+∞). 答案:(-3,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $