4.2.1等差数列的概念第2课时教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 等差数列（第二课时） 教学目标 1. 将实际问题转化为等差数列问题，应用数学知识求解. 2. 探究发现等差数列的性质，并应用性质解决等差数列的简单问题. 教学重点： 探究等差数列的性质，并结合几何含义理解等差数列的性质. 教学难点： 探究等差数列的性质，并结合几何含义理解等差数列的性质. 教学过程 1、 复习回顾 等差数列：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。 （） 通项公式： 函数性质 代数形式 几何表现 单调性 ①时，单调递增 ②时，单调递减 ③时，常数数列 值域 ①时， ②时， ③时， 对称性 周期性 2、 典例解析 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5％，设备将报废.请确定的取值范围. 分析： ①“每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元”→每经过一年设备的价值成等差数列. ②确定首项和公差. ③建立公差的不等量关系，求的取值范围. 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列. 由已知条件，得. 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是. 根据题意，得 即 解这个不等式组，得. 所以的取值范围为. 设计意图：引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律，让学生万征地经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程，使学生养成严密思考的良好习惯. 例2.已知等差数列的首项，公差. （1） 在中每相邻两项之间都插入三个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，求数列的通项公式. （2） 依次取出中的所有奇数项，组成一个新的数列，求数列的通项公式. （3） 依次取出中所有序号为5的倍数的项，组成一个新的数列依次取出,求数列的通项公式. 解：（1）设数列的公差为. 由题意可知，，，于是. 所以. 思考：如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）设数列的公差为. 由题意可知，，，于是. 所以. （3）由题意可知，，于是. 所以. 思考：你能根据（2），（3）的结论做出一个猜想吗？数列与的图象有怎样的变化？ 设计意图：让学生体会如何借助已有的数量，构造新数列，并进一步体会对于等差数列的认知，可以抓住“首项”和“公差”两个基本量. 例3.已知数列是等差数列，，且.求证：. 证明：设数列的公差为，则 所以， 因为，所以. 设计意图：让学生从“数”与“形”两方面进一步认识等差数列的性质，同时也让学生了解一些数量的结论的证明方法，并且也为后面推导求和公式打下基础. 3、 应用练习 1. 已知等差数列. （1） 若，，求的值. （2） 若，，求通项公式. 解：（1）方法一：由于，，这三项也成等差数列， 所以有 即 因此. 方法二：由，可得，. 而是和的等差中项，所以有. 因此. （2）已知 由等差数列的性质，可得 又因为 所以有 设等差数列的公差为，即 解得 若，则 若，则 4、 小结 1. 等差数列的基本量——首项和公差 2. 等差数列的性质 3. 结合函数图象，理解等差数列的性质 5、 布置作业 完成作业练习. 学科网（北京）股份有限公司 $$