专题02 平面向量基本定理及最值问题（5大高频考点）（期中真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题02 平面向量基本定理及最值问题 6大高频考点概览 考点01平面向量基本定理的应用 考点02平面向量基本定理的最值问题 考点03平面向量的数量积的最值问题 考点04平面向量的模的最值问题 考点05平面向量夹角的最值问题 地 城 考点01 平面向量基本定理的应用 一、选择题 1．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意；对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意；对于C，因为为零向量，所以C不符合题意；对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意；故选：A 2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图，在中，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，.故选：A. 3．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，D为BC边的中点，E为AD的中点，.故选：A 4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以，所以. 故选：D. 5．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点，设，， 则，又， 则，所以，则，解得，故选：D. 6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知中，，，，O为的外心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，为的外心，设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,因为 ，两边乘以，即， 的夹角为，而，则 ，得①， 同理两边乘 ，即，，则 得②，①②联立解得，，所以， 7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【详解】由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心； 由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则，而点在内，则，即，因此平分角，同理分别平分，从而点是的内心，故选：D 8．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A：由是的重心可得，所以，故A项错误；对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确；对C：因为是的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确：对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确．故选:BCD. 二、多选题 9．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）有下列说法，其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．是 是锐角的必要不充分条件 【答案】CD 【详解】A选项：当时，不一定平行，A错误；B选项：当时，不存在实数使得，B错误；C选项：由向量三角不等式取等号条件可知，C正确；D选项：由可知，； 当 是锐角时，有.所以是 是锐角的必要不充分条件，D正确.故选：CD 三、填空题 10．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 【答案】 【详解】因为，又，所以，故答案为： 四、解答题 11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，. (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 【详解】（1）由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. （2）因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 12．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【详解】（1）； . （2）.证明如下：由（1）知，，， . ，. 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 【详解】法1：（I）以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，，； （II） ，． 法2：（I）； （II），∴， ∵，，∴与重合，∴． 14．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，令． (1)用表示； (2)若，且，求． 【详解】（1）因为，，且是平行四边形， 所以，所以， 所以， （2）由（1）知，， 又，所以，，， 即，，解得，，所以. 15．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，.   (1)用表示向量； (2)若，且，求. 【详解】（1），， . （2）三点共线，由得， ，即， ，. 16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【详解】（1）因为三点共线，所以存在实数使得， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得，所以. （2）设，由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 地 城 考点02 平面向量基本定理的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，因为，所以，因为点是线段的中点，所以，所以， 又因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，取到最小值，故选：D. 2．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】如图，延长交于点，因点是的重心，则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为.故选：C. 3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设，则有，解得：， 故，由题意，，，三点共线，故可设， 则，整理得，故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；故选：C 4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以时，取得最小值.故选：C 6．如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当点在四边形的点处时，有，对应，可知，此时有，故AC错误；当点在四边形的点处时，有，对应，可知，此时有，故D错误；故选：B. 二、填空题 7．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由已知可得：，又因为在线段上，所以有，且，根据平面向量基本定理可知：，所以有，且，即，则，当且仅当，即时取等号，故答案为：. 地 城 考点03 平面向量的数量积的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（   ）   A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】由为弧上的一点，得，，则， 因此，当且仅当，即点与点重合时取等号，所以的最小值为.故选：D 2．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 【答案】A 【详解】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，， ，且，时，取最小值时，取最大值，∴的取值范围是.故选：A. 二、填空题 3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 【答案】/ 【详解】因为，可知O为的中点，又因为O为的外接圆圆心，则， 且，，则，则，可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系，则，设，可得，则，可知当时，取到最小值.故答案为： 4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______． 【答案】 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，设，所以，当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，过作交于点，连接，当取得最大值时，且，因为，正方形边长为4，则，，所以，所以，则，所以，得，所以的最大值为.所以最大值为.故答案为：24. 5．在平面四边形中，， ，则的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系， 则，因为， 所以，且，易知， 利用三角换元，可设，则， 其中，显然，则，所以.故答案为： 三、解答题 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）. (1)求的值； (2)在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【详解】（1）如图所示，设，可得且 因为点、三等分线段，可得， ， 则. （2）以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为是边长为3的等边三角形，可得，， 又因为在线段上，设，其中，则， 所以， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在等腰梯形中，，，，. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)设点为线段上的一动点，求的取值范围. 【详解】（1），且，； （2）过点作交的延长线于点， 因为，且，是正三角形，， 在中，，. （3）设，，则， ， ， 令， 在上递减，在上递增，且， 所以的取值范围是. 8．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【详解】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. （3）由图可得， ， ， 由，则. 地 城 考点04 平面向量的模的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得．故选：C 2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】设，如图，   由题意，即在平行四边形中，，，求的最大值. 延长至，使，则，由正弦定理，三点所在外接圆的直径， 所以，设圆心为，如图，  所以可知，又， 所以由余弦定理可得，则由图象可知，故选：C 3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则 ， 所以，解得，所以，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立.所以，的最小值为.故选：B. 4．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，其中，则，因为，所以，又，所以，当且仅当时等号成立.故选：A. 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】设，可得，且，则向量在上的投影为， 因为对任意的，恒成立，即恒成立，所以为的最小值，即向量在方向上的投影向量为，所以，可得，即，所以，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为，且，可得，取为的中点，则，可得点关于轴的对称点为，又由，可看成在轴取一点使得，则,当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】记，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为19.故选：C 二、多选题 7．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，夹角为，则 B．的最小值是0 C．若，则的最大值为 D．若与不共线，，x，y，，，，则 【答案】AC 【详解】对于A选项，，，夹角为，，，故A正确；对于B选项，设，的夹角为， ，的夹角为，，，，当，时，，故B错误；对于C选项，，，，根据平面向量模长不等式可得，，当且仅当与反向时取等号， 的最大值为，故C正确；对于D选项，，，， ，即，与不共线，，，不共线， ，，，，故D错误.故选：AC. 8．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点P在BD上时，则 B．的取值范围为 C．若点P在BD上时， D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1 【答案】ACD 【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故B错误；当点P在BD上时，，所以，故C正确；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，， ，∴当时，有最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 【答案】/ 【详解】由，则，不妨设，，，则，则 ，其中，当时，取得最大值. 故答案为：. 地 城 考点05 平面向量夹角的最值问题 一、多选题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)（多选）下列说法中错误的有（    ） A．若，，则 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，，则 D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，注意到，则不与平行，则，故A错误；对于B，注意到，则，即不能作为一组基底，故B正确；对于C，由题，因，，则，则，故C错误；对于D，由题，，因与的夹角为锐角，则且不与共线，则，故D错误.故选：ACD 二、填空题 2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，已知，则的最大值为______． 【答案】/ 【详解】由得，即，又由余弦定理得：，化简得：， ，当且仅当时，等号成立， 将代入中，可得，满足任意两边之和大于第三边，故有最小值，且为锐角，此时，，由于在上单调递减，在上单调递增，故有最大值，最大值为．故答案为： 三、解答题 3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得，所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线， 即且，所以且. 4．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知平面向量，，，. (1)若与平行，求的值. (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，，因此； 当时，，，. （2）若与的夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得且， 所以的取值范围为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量基本定理及最值问题 6大高频考点概览 考点01平面向量基本定理的应用 考点02平面向量基本定理的最值问题 考点03平面向量的数量积的最值问题 考点04平面向量的模的最值问题 考点05平面向量夹角的最值问题 地 城 考点01 平面向量基本定理的应用 一、选择题 1．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)如图，在中，设，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)如图，中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知中，，，，O为的外心，若，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 8．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）有下列说法，其中正确的说法为（    ） A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．是 是锐角的必要不充分条件 三、填空题 10．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 四、解答题 11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，. (1)若，试用向量，表示，； (2)若，求的面积. 12．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 14．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在平行四边形中，，令． (1)用表示； (2)若，且，求． 15．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，.   (1)用表示向量； (2)若，且，求. 16．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 地 城 考点02 平面向量基本定理的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 3．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______． 地 城 考点03 平面向量的数量积的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（   ）   A．0 B． C． D． 2．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 二、填空题 3．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______． 5．在平面四边形中，， ，则的取值范围为_____________． 三、解答题 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）. (1)求的值； (2)在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 7．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)如图，在等腰梯形中，，，，. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)设点为线段上的一动点，求的取值范围. 8．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 地 城 考点04 平面向量的模的最值问题 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 4．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为（   ） A． B． C． D．3 6．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 二、多选题 7．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)（多选）已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，夹角为，则 B．的最小值是0 C．若，则的最大值为 D．若与不共线，，x，y，，，，则 8．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)（多选）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点P在BD上时，则 B．的取值范围为 C．若点P在BD上时， D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1 三、填空题 9．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 地 城 考点05 平面向量夹角的最值问题 一、多选题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)（多选）下列说法中错误的有（    ） A．若，，则 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，，则 D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 二、填空题 2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)在中，已知，则的最大值为______． 三、解答题 3．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 4．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知平面向量，，，. (1)若与平行，求的值. (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $