专题01 平面向量的概念与基本运算（6大高频考点）（期中真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版必修第二册

专题01 平面向量的概念与基本运算 6大高频考点概览 考点01平面向量的概念及线性运算 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量及其运算的坐标表示 考点04平面向量的投影向量 考点05平面向量的平行（共线）判定与求参 考点06平面向量的垂直判定与求参 地 城 考点01 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)化简：（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)下列说法中，正确的个数是（    ） ①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 9．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 10．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 12．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设为非零向量，若，则 B．若，则或 C．设为非零向量，则 D．若点为的重心，则 13．下列说法错误的是（   ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则 C．若非零向量与是共线向量，则四点共线 D．若，则 三、填空题 14．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________． 地 城 考点02 平面向量的数量积 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 2．已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 3．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 7．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知中，，，O是内一点，且满足，则（    ） A．26 B． C．13 D． 二、多选题 8．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，，则 9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 三、填空题 10．若，，向量与向量的夹角为，则________． 11．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知平面向量，的夹角为，且，，则____． 12．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)若向量与向量的夹角为则___. 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 14．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________. 四、解答题 15．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与的夹角是． (1)计算； (2)计算； 16．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为， (1)求的值； (2)求的值． 17．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量夹角为的向量，满足，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 18．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)与的夹角的余弦值. 19．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且. (1)； (2)求向量与向量的夹角. 地 城 考点03 平面向量及其运算的坐标表示 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知点则与同方向的单位向量为 A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B．13 C．14 D． 二、多选题 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）下列叙述中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 三、填空题 8．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________． 9．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)平面向量满足，，则的夹角为_______． 11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知，求与向量方向相同的单位向量为_____. 12．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)如图，在中，分别是与的中点，且与相交于点.若，，则__________.   四、解答题 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)设，向量，，，且∥，． (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. (1)求； (2)若点为的中点，求. 地 城 考点04 平面向量的投影向量 一、选择题 1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 5．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为 6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 7．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C．若与共线，则为或 D．存在，使得 8．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知向量，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 9．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 三、填空题 10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______. 12．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 13．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______. 四、解答题 14．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知，． (1)若与的夹角为，求的值． (2)求向量在向量上投影的数量． 15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 16．已知与的夹角为． (1)求与的夹角； (2)用表示在方向上的投影向量． 地 城 考点05 平面向量的平行（共线）判定与求参 一、选择题 1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，若与共线，则（    ） A．9 B．4 C． D． 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，，，则（   ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 5．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）下列向量中与共线的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 8．(24-25高一下·四川南江中学·期中)设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值 9．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量，，，，且向量与共线． (1)求； (2)若，求实数的值． 10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数k的值． 11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设，，，为平面内的四点，且，，. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与平行，求实数的值. 12．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 地 城 考点06 平面向量的垂直判定与求参 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．10 2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)若向量与垂直，则的值为（    ） A．－4 B．4 C．－9 D．9 3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 4．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，且，则（ ） A．1或3 B．-1或-3 C．-3 D．-1 6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设x，，向量，，且，则等于　　 A．0 B．1 C．2 D．8 7．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D．15 二、填空题 8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 三、解答题 9．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)已知，． (1)当为何值时，与共线？ (2)当为何值时，与垂直？ (3)当为何值时，与的夹角为锐角 10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，？ 12．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 13．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值． 14．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 15．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知向量，. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值. 16．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若和垂直，求实数的值. 17．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念与基本运算 6大高频考点概览 考点01平面向量的概念及线性运算 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量及其运算的坐标表示 考点04平面向量的投影向量 考点05平面向量的平行（共线）判定与求参 考点06平面向量的垂直判定与求参 地 城 考点01 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平面四边形ABCD中，＋，所以＋＋，故选：A 3．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 4．(24-25高一下·四川泸州合江县马街中学校·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得,故选：D 5．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角形法则可得：.故选：A 6．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误.故选：D 7．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)下列说法中，正确的个数是（    ） ①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错； ③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.故选：B. 8．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．向量的模是一个正实数 【答案】B 【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误，大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确；大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误，零向量的模为0，故D错误.故选：B. 9．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以同向共线，故，因为，所以同向共线或反向共线，所以不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 二、多选题 10．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【答案】BD 【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错；零向量的长度为零，方向任意，故B正确； 若，的模长不一定相等，故C错；若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确.故选：BD. 11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误；零向量的模都是0，故C正确；单位向量的长度都是1，故D正确；故选：ACD 12．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设为非零向量，若，则 B．若，则或 C．设为非零向量，则 D．若点为的重心，则 【答案】AD 【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，，所以与不一定相等，故C错误；对于D，如图，设为的中点，点为的重心，则，即，所以，故D正确；故选：AD． 13．下列说法错误的是（   ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则 C．若非零向量与是共线向量，则四点共线 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由相等向量定义可得两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，即A错误； 对于B，若非零向量与共线，则可得存在实数满足，即B错误；对于C，若非零向量与是共线向量，可能，不一定四点共线，即C错误；对于D，若，可得的方向相同，且模长相等，即，即D正确.故选：ABC 三、填空题 14．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________． 【答案】2 【详解】因为，因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以，所以. 地 城 考点02 平面向量的数量积 一、选择题 1．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 【答案】C 【详解】.故选：C. 2．已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】由题意可知等边三角形的边长为2，则的夹角为，以及的夹角也为， 则，同理，故，故选：D. 3．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 【答案】D 【详解】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝.故选：D 4．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即，化简得，即.故选：B. 5．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，移项可得，因为，所以，对两边同时平方可得，根据完全平方公式则，又因为，，所以可化为，由，移项可得，则，根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则. 故选：D. 6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以，所以.故选：D 7．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知中，，，O是内一点，且满足，则（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】由，可知O是的外心，如图所示，过点作， 则，分别为，的中点，则， 所以，故选：A 二、多选题 8．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：因为，即，则，整理可得，故B正确；对于选项C：表示与共线的向量，表示与共线的向量，可知不一定相等，故C错误；对于选项D：例如，满足，但不能确定相等，故D错误；故选：AB. 9．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】BC 【详解】由两边平方，，因，，故，B正确；对于A，由得，因，故，A错误；对于C，由，即，C正确；对于D，由，则， ，D错误.故选：BC. 三、填空题 10．若，，向量与向量的夹角为，则________． 【答案】3 【详解】由题意可得.故答案为：3. 11．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知平面向量，的夹角为，且，，则____． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且，所以 12．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)若向量与向量的夹角为则___. 【答案】 【详解】因为，向量与向量的夹角为，所以. 故答案为：. 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 【答案】1 【详解】由得．故答案为：1. 14．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得，则.故答案为：. 四、解答题 15．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与的夹角是． (1)计算； (2)计算； 【详解】（1）由，与的夹角是，， 即. （2）由（1）知，， 所以． 16．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，满足，，与的夹角为， (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）由，，与的夹角为，得， 所以. （2）由（1），得. 17．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量夹角为的向量，满足，. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，，， 所以. （2） 所以. 18．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)与的夹角的余弦值. 【详解】（1）已知向量与的夹角，且，， 则， 所以； （2）由（1）知：，所以， 所以与的夹角的余弦值为. 19．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量与的夹角为，且. (1)； (2)求向量与向量的夹角. 【详解】（1）由，向量与的夹角为可知； 所以，即； （2）记向量与向量的夹角为，结合（1）可得， 又，因此可得.即向量与向量的夹角为. 地 城 考点03 平面向量及其运算的坐标表示 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．故选：C 2．(24-25高一下·四川眉山彭山区第一中学·期中)已知点则与同方向的单位向量为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,所以与同方向的单位向量为，故选A. 3．(24-25高一下·四川成都成都七中·期中)已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误；对于B， ，不平行，B错误； 对于C，，，，C正确；对于D，，D错误. 故选：C 4．已知，则（    ） A． B．13 C．14 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 6．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)（多选）下列叙述中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】AD 【详解】对于A，因，则，故A正确；对于B，因向量有方向，不能比较大小，故B错误； 对于C，当时，对任意向量满足，，但得不出，故C错误；对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则：，解得或，故D正确．故选：AD． 7．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)（多选）已知向量，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 【答案】ABD 【详解】对于A，因为向量，所以，即，故A正确；对于B，等价于，即，则， 所以，所以，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故C错误；对于D，， 当，即时，取得最大值时，此时，故D正确．故选：ABD. 三、填空题 8．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知，点P在线段AB上，且，则P的坐标为________． 【答案】 【详解】由点P在线段AB上，，得，设点，又，则，于是，，所以P的坐标为. 故选： 9．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 【详解】设D（x，y）则在平行四边形ABCD中，∵，又∵ ∴解得，故答案为：（1，5） 10．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)平面向量满足，，则的夹角为_______． 【答案】 【详解】因为，所以，因为，两边平方得，所以，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：. 11．(24-25高一下·四川仁寿第一中学·期中)已知，求与向量方向相同的单位向量为_____. 【答案】 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是.故答案为： 12．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)如图，在中，分别是与的中点，且与相交于点.若，，则__________.   【答案】3 【详解】  建立如图所示的平面直角坐标系，由于，， 所以，，，，所以，故，， 所以.故答案为： 四、解答题 13．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)设，向量，，，且∥，． (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 【详解】（1）因为∥，，则，解得，即，， 可知，即，可得，所以. （2）由（1）可知：，，可得，， 则，， 可得，且，则， 所以向量与夹角为. 14．(24-25高一下·四川阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. (1)求； (2)若点为的中点，求. 【详解】（1）因为，所以，. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系， 可得.则. 若为的中点，则，故， 又由，则. 地 城 考点04 平面向量的投影向量 一、选择题 1．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为单位向量，则 ，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，， 在方向上的投影向量为.故选：B. 3．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B. 4．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】向量，，所以，在上的投影向量的模为：，解得.故选：B. 二、多选题 5．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，A正确；对于B，，则，B正确； 对于C，，又，则，而，因此为锐角，C错误；对于D，，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】BD 【详解】对于A，由，．得．由，得．解得，故A错误；对于B，．因此． 当且仅当时等号成立,故B正确；对于C．因为．所以，即，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确．故选：BD． 7．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C．若与共线，则为或 D．存在，使得 【答案】AB 【详解】对于A，若，则有，即，A正确；对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，，B正确；对于C，若与共线，设，所以有，解得，因为，，∴，所以，C不正确；对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有， 则，与矛盾，故D不正确．故选：AB. 8．(24-25高一下·四川成都石室中学·期中)（多选）已知向量，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【详解】对于A，若，则，所以，解得，故A正确；对于B，若，则，所以，解得，故B错误； 对于C， ，当，即，解得，故C错误；对于D，当，则，则在上的投影向量为，故D正确；故选：AD. 9．(24-25高一下·四川巴中南江县实验中学·期中)（多选）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 三、填空题 10．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【详解】在方向上的投影向量为， 所以投影向量的坐标为.故答案为： 11．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______. 【答案】 【详解】在方向上的投影向量为，故答案为：. 12．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【详解】已知，则.因为，根据向量垂直的性质可知，即.将代入上式可得，即，解得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.将，，代入可得： . 故答案为：. 13．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)已知，，与夹角为60°，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则m的值为______. 【答案】3 【详解】因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，.故答案为：3. 四、解答题 14．(24-25高一下·四川南充嘉陵第一中学·期中)已知，． (1)若与的夹角为，求的值． (2)求向量在向量上投影的数量． 【详解】（1）因为，， 又与的夹角为， 则，解得． （2）因为，，所以，， 所以向量在向量上投影的数量为. 15．(24-25高一下·四川泸州合江县中学校·期中)已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【详解】（1）. （2）因为，所以. （3）在方向上的投影向量为. 16．已知与的夹角为． (1)求与的夹角； (2)用表示在方向上的投影向量． 【详解】（1）法一：设与的夹作为，， 又， ， 又，； 法二：由题意，如图，作，设，   作，以和OB为邻边作平行四边形，即为， 易知平行四边形为菱形，故与的夹角； （2）法一：由题意，为单位向量，又由（1）知与的夹角为， 故在方向上的投影向量为． 法二：在（1）的解答（法二）的基础上，过点作垂直的延长线于点， 则为在方向上的投影向量， 又易知，在直角三角形中，，，，， 故在方向上的投影向量为． 地 城 考点05 平面向量的平行（共线）判定与求参 一、选择题 1．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)已知向量，若与共线，则（    ） A．9 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】若与共线，则，解得.故选：C. 2．(24-25高一下·四川广元直属普通高中·期中)已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】由条件可得，因为，所以，所以.故选：B 3．(24-25高一下·四川泸州泸县普通高中·期中)已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以，所以A、B、D三点共线，故A正确；对于B，因为，，所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误；对于C，因为，，所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误；对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误.故选：A. 4．(24-25高一下·四川眉山仁寿县部分学校·期中)已知，，，则（   ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【详解】对于A选项，，故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；对于C选项，因为，，所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.故选：A. 5．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，存在实数，使得，即，又，是不共线向量， ，解得.故选：B. 6．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由向量，可得，可得，解得.故选A. 二、多选题 7．(24-25高一下·四川南江中学·期中)（多选）下列向量中与共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】向量，因，则与不共线，A不是；因，则与不共线，B不是；而，，则与都共线，即C，D是.故选：CD 三、解答题 8．(24-25高一下·四川南江中学·期中)设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值 【详解】（1）当时，，. （2），又与共线，.解得：. 9．(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知向量，，，，且向量与共线． (1)求； (2)若，求实数的值． 【详解】（1）因为，，向量与共线， 所以，所以， 因为，所以，所以，即， 所以，，所以 （2）由（1）知，，所以，解得或. 10．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，满足，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数k的值． 【详解】（1）由题意， 所以； （2）由有存在实数，使得，即，解得. 11．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)设，，，为平面内的四点，且，，. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与平行，求实数的值. 【详解】（1）设点，则,. 因为，所以，即得. 所以点的坐标为. （2）由题意得， 所以，. 因为，所以，解得. 12．(24-25高一下·四川德阳博雅明德高级中学·期中)设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点，所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设，所以，即． 又是两个不共线的向量，所以，解得． 地 城 考点06 平面向量的垂直判定与求参 一、选择题 1．(24-25高一下·四川青川县第一高级中学·期中)已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】B 【详解】由题意可得，解得.故选：B. 2．(24-25高一下·四川南江中学·期中)若向量与垂直，则的值为（    ） A．－4 B．4 C．－9 D．9 【答案】B 【详解】因为向量与垂直，所以，解得：.故选：B 3．(24-25高一下·四川资阳安岳中学·期中)已知向量，若，则实数（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，因为，所以，解得， 故选:C. 4．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·期中)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意可得，由，则，即，解得.故选：B. 5．(24-25高一下·四川德阳第五中学·期中)已知向量，，且，则（ ） A．1或3 B．-1或-3 C．-3 D．-1 【答案】B 【详解】因为向量，，所以，且，则 则或.故选：B. 6．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)设x，，向量，，且，则等于　　 A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【详解】；；；；；；，．故选C． 7．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D．15 【答案】C 【详解】因为，所以，，所以，所以， 所以，故选：C. 二、填空题 8．(24-25高一下·四川泸州高级中学校·期中)已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 【答案】 【详解】若，，，则，解得.故答案为：. 三、解答题 9．(24-25高一下·四川成都铁路中学·期中)已知，． (1)当为何值时，与共线？ (2)当为何值时，与垂直？ (3)当为何值时，与的夹角为锐角 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为与共线，所以，解得 （2）因为，，所以，， 因为与垂直，所以， 即，所以 （3）因为，，所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线，解得且 10．(24-25高一下·四川成都列五中学·期中)已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 【详解】（1）由题可得， 因为，，代入可得，， 所以与的夹角的余弦值. （2）因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 11．(24-25高一下·四川资阳鸿鹄高级中学·期中)已知，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，？ 【详解】（1）， ，. （2）由得：， 解得：. 12．(24-25高一下·四川天立教育集团·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 【详解】（1）若，则，即， 则，. （2），则，则， ，得. 13．(24-25高一下·四川射洪中学校·期中)已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值． 【详解】（1）由，设，，， ，或． （2），，，， ，． 设与的夹角为，则． 与的夹角的余弦值为． 14．(24-25高一下·四川泸州泸州老窖天府中学·期中)已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又因， 则，因，故、的夹角为60°； （2）由（1）可得：，， 因为与（）垂直，所以， 整理得到， 将，，代入上式可得：，解得． 15．(24-25高一下·四川成都东部新区养马高级中学·期中)已知向量，. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求的值. 【详解】（1）由，，得，故； （2）与垂直，， ，整理得：， 解得. 16．(24-25高一下·四川成都青白江区鸿鹄高级中学·期中)已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若和垂直，求实数的值. 【详解】（1）， 将，代入上式得. （2）因为和垂直，所以， 展开可得. 将，.代入上，解得. 17．(24-25高一下·四川内江第一中学·期中)定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值； (3)已知，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）， 所以函数的相伴向量. （2）依题意，，由，得， 又，即，则， 又，由正弦定理，得，， 即， 由，得，则，的取值范围为， 所以有最大值. （3）由（2）知，则， 设，由，得， 由，得，则， 即，于是． 由，得，则， 而，因此当且仅当时，和同时等于， 所以在图象上存在点，使得. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $