精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

连城一中2024-2025学年下期高一年级月考1 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上． 1. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 2. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 7. 如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ） A. B. C D. 8. 在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上． 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 11. 在锐角中，角的对边分别为，且满足.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则______. 13. 已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________. 14. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面内给定两个向量. （1）求； （2）求. 16. 在中，． （1）求的值； （2）求的值及的面积． 17. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量 18. 在梯形中，，分别为直线上的动点. （1）当为线段上的中点，试用和来表示； （2）若，求； （3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2024-2025学年下期高一年级月考1 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上． 1. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件及平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 3. 设向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 5. 如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 详解】建立平面直角坐标系，如图， 则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 7. 如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 8. 在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上． 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】只需判断各个选项所给向量是否共线即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共线，故A不符合题意， 对于B，因为关于实数的方程无解，所以不共线，故B符合题意； 对于C，因为关于实数的方程无解，所以不共线，故C符合题意； 对于D，因为，所以共线，故D不符合题意. 故选：BC. 10. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD． 【详解】对于A，因为，，且，所以， 则，则，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直，故B错误； 对于C ，，又，所以与的夹角为， 故C正确D错误． 故选：AC． 11. 在锐角中，角对边分别为，且满足.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A；结合锐角，可判断B；利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C；将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D. 【详解】由余弦定理得，，， 所以，即， 由正弦定理得， ①， 又因为，所以 ②， 将②式代入①式可得， 整理得， 因为，所以，即，故A正确； 在锐角中，，解得，故B正确； 由，故C错误； 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增，， ，故D正确 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案. 【详解】由题意，，因为，所以. 故答案为：2. 13. 已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行化简，再结合二次函数求最值即可. 【详解】，故， 即，代入得：， 故 ， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 平面内给定两个向量. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先求出、和，接着由向量夹角余弦公式即可得解. （2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解. 【小问1详解】 由题，， 所以. 【小问2详解】 由题得， 所以. 16. 在中，． （1）求的值； （2）求的值及的面积． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）由题意利用余弦定理即可求解的值； （2）由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，由正弦定理可得的值，利用三角形的面积公式可求的面积的值． 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理，可得，整理可得， 解得或（舍去）； 【小问2详解】 由于，所以， 由正弦定理，可得， 所以的面积． 17. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积求解； （2）根据向量共线与向量模长求解； 【小问1详解】 因为，所以， 又因为是单位向量，设夹角为,所以 解得 又 所以 小问2详解】 因为，所以即 设，则有 因为向量与向量共线， 所以解得 联立两式得：或， 所以为或. 18. 在梯形中，，分别为直线上的动点. （1）当为线段上的中点，试用和来表示； （2）若，求； （3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； 【小问3详解】 设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和正弦定理可得，由余弦定理可得，进而，即可求解； （2）设，根据平面向量的线性运算可得，则结合数量积的运算律和定义可得，由得，化简得，利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解； （3）设，，、.由向量的线性运算可得.结合得，解得，，利用三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，所以， 得，又∵，∴. 【小问2详解】 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，∴，∴， ∴，∴. 【小问3详解】 由（2）知，， D为BC的中点，则， 设，，、. 所以，得， 又E、G、F三点共线，所以，即. 由，得， 又，所以， 化简得，解得，， ∴，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$