福建泉州市晋江市侨声中学等校2025-2026学年高一下学期第二次教学质量监测数学试卷

**基本信息** 该试卷注重基础巩固与能力梯度提升，通过旅游景点规划等现实情境、立体几何翻折与交线作图等问题，培养数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型意识），适配高一年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、线面关系、解三角形|基础概念辨析，如第3题正方体线面角考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、向量分解、立体几何|选项分层，如第11题结合动点考查体积与线线角| |填空题|3/15|向量坐标、三角形面积、正四棱台外接球|空间几何与代数结合，如第14题台体外接球表面积| |解答题|5/77|向量应用、解三角形（条件开放）、立体几何证明与作图、实际应用与最值|第18题以区域规划为情境，考查数学建模与运算能力；第19题翻折问题发展空间观念与推理意识|

2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 答案 A D D A B A C C ABD BC ACD 6.因为==1，a-2b=2,所以(a-2)=4,即a2-4a6+462=4, 也即d-4a,6+40=41-4a6+41=4,解得：a6-是 所以a-5列a=-a6=上子子 n-3达月a士的an6小w你5a或骨-侣-日司 (a-b aa (a-b)aa(a-b)a 3 网同威 a=4a=3a,故选：A 1 7.因为∠BAC-,∠BAD=,所以∠CAD=2 6 因为S=8ao+8ae,即如ngA0 Dm2扇些-6+c, 2 62 62 所以V5b+c=56.es556+c' 6 62 故V5b+c≥8√5，当且仅当√5b=c=4V5时，等号成立故选：C. AB AC AB AC 8 AB 和 表示A正、AC方向的单位向量，则 AB AC 在∠BAC的角平分线上， AB BC=0,所以∠BAC的角平分线与边BC垂直， AB 所以△ABC是等腰三角形，且AB=AC. 取BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC。 由题意知，AB-AC=B=2W5,AB+AC=2A⊙=62，所以4⊙=32 以O为原点，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则B(-2,0),C(V2,0),A(0,3W2),故BA=(2,3W2),BC=(22,0) 答案第1页，共7页 设BD=1BA(0≤≤1)，则BD=(W21,3V2),即DB=（-√2元，-3V2) DC=DB+BC=(√21+2W2,-3√2入. 所以DB.Dc=(V2（2+22+（352k(3b2}201241, 当=2刘时，丽取得绿小值，为0合-4。片 11.对于A,如图，因为在正方体ABCD-ABCD中，平面ADDA∥平面BCC1B, 且平面ADDA与平面BCCB的距离为正方体棱长2，而S.吗-2×2×2=2， 所以三棱锥B-BCQ的体积0=2s兮2x2-子为定值，因此A正确： 对于B,:DC∥AB,所以直线BD与直线AB所成的角等于直线BD与直线DC所成的角， 由勾股定理得B,D=V22+22+22=25,B,C=V22+22=22, 在三角形县DC,市余孩定理，cmc.B2-85, 2×2W3×2 853 所以∠BDC≠60°，B错误 对于C,如图，连接AC,CD,C2,BD, 因为在正方体ABCD-ABCD中，易知AC⊥BD,BB,⊥AC,BB,BDC平面BBD, BB BD=B,∴.AC⊥平面BBD,B,DC平面BBD,.AC⊥BD,同理B,D⊥CD, AC∩CD,=C,AC、CDC平面ACD,∴B,D⊥平面ACD, 而点O为线段AD上一动点，所以COc平面ACD,因此BDLC2,所以C正确； 对于D,不妨设Q为AD上靠近D的一个三等分点，即A2=2D2,如图所示， 设平面B,OD与BC,AD的交点分别为M,N,·平面ADDA∥平面BCCB, ∴.BMI∥ND,同理NB∥DM, 答案第2页，共7页 ∴.平面BQD截正方体ABCD-ABCD所得的截面为平行四边形， .A0=2D0,.AD=2ND,.ND =NA =1,.ND=NB =5, 由余弦定理的推论可求得cos∠BNM=BM+DN-BD_一1 2BN DN sin∠B,WD= 2W6 5 ,·S4驰形SN=2×号×NDx NB sin∠BND=2V6, 2 当Q为AD上靠近A的一个三等分点，同理可求得截面面积为2√6，因此D正确. 12.(-1,-2) 13.5 14.105π 4 15.(1)设c=(x,y),由=4v5,且c1/a, 得 1xy-(-1)×x=0 x2+y2=48 …2分 所以 [x=-2W6[x=26 或 …4分 y=26y=-26 故c=(-2W6,2V6)或c=(2W6-2N6)；…6分 (2)因为b=1d=√2，且a1(a+2b), 所以a-(a+2b)=0,即+2ab=0.…7分 所以a:6=-.1, 2 …9分 即cos日= √22…11分 因为夹角9∈[0，川，所以a与5的夹角日=3 .…13分 16.【详解】(1)因为v3 bsin C=a-bcosC, 由正弦定理得：V3 sin B sin C=sinA-sin Bcos C,…2分 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C…3分 所以V3 sin B sin C=cos B sin C,…4分 答案第3页，共7页 因为C∈(0，m,所以sinC≠0，…5分 所以tanB=sinB= cos B 3 因为BE(0,),所以B=…7分 6 (2)解：选择条件①：b=√3，且B= 6 s血Asin6,可得sinA-asin_4W5-si 由正弦定理a=b 6=2' 3 因为sinA=2>1,所以这样的△ABC不存在： 选择条件②，因为4+B+C=,且B=君…8分 所以A+C=-π，则A=5亚-C,由s(4-C)=1,可得sim 66 6 因为4e@.ce00,所以g-2C-子解得c-君所以4-号 …10分 6 6 3 sin4sin,可得b=asinB 由正弦定理a=b 43xsin43 6 sinA 2兀 24,…12分 sin- √3 3 因为A=2π，B=C= ,可得b=C,…13分 3 6 设AC边上的高为五，可得面积为S=。 oc sina,所以4-5,14分 b 所以h 4v3×4sin 6=25…15分 4 选择条件③：由BA.BC=24,…8分 根据向量的数量积的公式，可得BABC=BA BC cosB,所以ac cos B-24,…10分 因为8-且a=45,所以4W5.cx5=24,解得c=4,…1分 2 由余弦定理b2=+c2-2 ac cos B, 可得B=4N2+4-2x4W3×4x5-16,所以b=4…13分 2 设4C边上的高为A,可得面积为S=}nB=bh,所以a-acm b ,…14分 答案第4页，共7页 所以h= 4v5x4sinm 6=2W5…15分 4 (注：若选择条件①，不给分；若选择条件①并说明不符合条件，没有对条件②，条件③ 进行解答，给2分；若只选择条件②或条件③，无解答过程，给1分) l7.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取PA中点F,连接EF、BF,…1分 由g是PD的中点，得EFAD,EF=AD-1, 又因为AD/IBC,BC=1,所以EF/IBC,EF=BC, 所以四边形EFBC是平行四边形，…3分 所以CE/IBF,又CEa平面PAB,BFC平面PAB, 所以CE//平面PAB.…5分 （2)延长AB,DC交于M,连接PM,PM即所求直线（图略)…7分 (3)在等腰梯形ABCD中，AD/IBC,过点B作BG⊥AD交AD于点G,…8分 由AD=2,BC=1,∠BAD=60°，得AB=1, 在△180中，由余弦定理得5D-V2+1-2x2x1x5, 则AD2=AB2+BD2,所以AB⊥BD,…10分 又AB⊥PB,PB∩BD=B,PB,BDC平面PBD, 因此AB⊥平面PBD,…13分 而ABC平面ABCD, 所以平面PBD⊥平面ABCD.…15分 18.【详解】(1)在△OAB中，OA=4,OB=4,∠AOB=120°， 则∠OAB=∠OBA=30,…1分 在△AOM中，由余弦定理得： OM:-O4+AM-204.AMCOS ZOAM-16-16-16-16 3 3， …3分 即OM=45,则20AB=∠A0M=30,可得∠ON=60P,4分 可知A0W为正三角形，其周长为3×45=45，即防护网的总长度为4m.…5分 3 答案第5页，共7页 (2)设∠AOM=0(0°<0<60)， 因为，S.ow=V3S2a,即ON.Mi60=Y504:OMsin6,6分 2 可得ON=8sin0,…7分 ON OA 4 在AOAN中，由 1sin30°sin(θ+60°+30)cos8得：oy=2 …9分 即8sin0= Fcos日，可得sim20=1, 2 ’…10分 又因为0°<日<60°，则0°<28<120°， 则20=30°，解得0=15°，所以∠AOM=15°.…11分 (3)设∠10M=6(0°<0<60)，由(2)知：ON=2 cose' OM OA 2 在a10M中，由30m(0-30网得：OM-m(0+30,…13分 5 S.ouOMON.sin 0 5 sin(θ+30)cos0 V3 1 in6+2cos0cos6’1 …15分 2 当且仅当20+30°=90°，即9=30°时，0N面积取最小值为4V5 km2.…17分 19.【详解】(1)根据题意可知AD⊥DC,AD⊥DE,且DC∩DE=D AD⊥EDC…1分 且∠BDC为二面角E-AD-C的平面角，即∠EDC=a行…2分 Vg-c=VAD·AD=××2×4sin5×3=2V3…4分 (2)①证明：过点C作CH⊥EB交EB于点H,…5分 因为平面FBE⊥平面CBE,平面FBEO平面CBE=EB, 所以CH⊥平面FBE…6分 H D 又BFC平面FBE,则BF⊥CH;…7分 B 根据题意平面图形翻折后AD⊥AB,AD⊥AF, 且AF,AB是平面FAB内两条相交直线， 所以AD⊥平面FAB,又BC/IAD,得BC⊥平面FAB,…8分 答案第6页，共7页 又BFC平面FAB,则BF⊥BC,…9分 因为CH,BC是平面BCE内两条相交直线， 所以BF⊥平面BCE;…I0分 又CEC平面BCE,则BF⊥CE,…11分 ②取DE的中点S,连接SC, 因为SF/IBC,SF=BC,所以四边形SFBC是平行四边形， 所以SC/BF,由①得BF⊥CE SC LCE,…12分 D K 在ASCD中，SC2=SD2+CD2-2SD·CD cosa=4+t2-4tcos, B 在△ECD中，EC2=CD+ED2-2CD.ED cos a=16+t-8cosa, 在△SCE中，SC2+EC2=SE2,因此20+2t2-12tc0sa=4,…14分 化简得到cos2='+4 63t ,…15分 因为ae0,0<t5,所以csa22长x22,当仅当1=22时等号成立，故 c0sa的最小值为22.…17分 3 答案第7页，共7页 2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：詹木凤 陈婉玲 审核人：潘玉琴 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z满足，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则或是异面直线 3．正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 4．已知分别为三个内角的对边，且，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 5．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 6．若平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 7．在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 10．在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则的最小值为 11．正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成的角为 C．在点运动过程中，恒有 D．当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知两点,若，则点P的坐标为_______. 13．在中，角所对的边分别为.已知的面积为 ，则_______. 14．若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）已知向量是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若是单位向量，且，求与的夹角. 16.（本小题15分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)画出平面PAB与平面PCD的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面ABCD. 18．（本小题17分）如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，当取何值时，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19．（本小题17分）如图所示，在直角梯形BCEF中，，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，（），，将四边形沿向上翻折，连接BE，BF，CE，在翻折的过程中，记二面角E的大小为，（）． (1)当,=时，求三棱锥E-ADC的体积； (2)若平面⊥平面． ①求证：； ②求cos的最小值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2026年春高一年第二教学质量监测 数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 ▣▣ (正面潮上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15 囚囚■ 16. 囚囚■ 17.注：第二小问的作图在图2中完成 图1 E --D B 图2 D B ■ 18. 1 I 囚■囚 19 E D e- s. C B 囚■囚 口 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学试卷 (考试时间：120分钟 满分：150分) 命题人：詹木凤陈婉玲审核人：潘玉琴 第I卷（选择题共58分) 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知复数z满足=(1-1)=3+i,则z的共轭复数z=() A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i 2.设m,n是两条不同的直线，&，B是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若m/∥a,n∥a,则∥n B.若/1，⊥n,则n⊥ C.若m/1a,m⊥n,n⊥B,则a/1B D.若o∥B,mcc,ncB,则m//n或m,n是异面直线 3.正方体ABCD-ABCD中，则AC与底面ABCD所成角的正弦值为() A.3 B.② 6 C. 2 2 3 D.3 3 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且1+cosA=。,则三角形的开 为() A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 5.已知圆锥的底面半径为√5，侧面展开图的圆心角为 ，则圆锥的表面积是() 2π A.8π B.12π C.2W3元 D.6W3元 6.若平面向量a,万，满足==-1，a-20=2,则向量a-b在向量a上的投影向量为() A.3a 4 B.ja c.a D.-1a 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B4C=5π ,边BC上一点D使得 6 AD-2,且∠B4D-君则V+e的最小值为《) A.2√5 B.4N3 C.85 D.8 试卷第1页，共4页 8.己知非零向量A正与AC满足 BC-0,B-AC=22,B+C62, 点D是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-1 B c D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知1为虚数单位，下列说法正确的是() A.若复数z=(3+4i)i,则=5 B.若复数3=2-1,2=3+4i，,则复数+2在复平面内对应的点在第一象限 C.b≠0是复数a+bi(a,b∈R)为虚数的充分不必要条件 D.若复数1+2i是关于x的实系数方程2x2+px+q=0的一个根，则p+q=6 10.在△ABC中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB,AC交 于点M,N,设A正=1AD,AM=xAB,AN=yAC,其中元，x,y∈(0,1)，则下列结论正确 的是() A.若AB=6,AC=8,∠BAC=120°则BC=4V2 B.若AB=6,AC=8,∠BAC=120°则AD=√13 c石xy则 Γ11 D.若入=，则x+2y的最小值为1+6W2 11.正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点Q为线段AD上一动点，则() A.三棱锥B-B,CQ的体积为定值 D C B.直线BD与直线AB所成的角为60° B C.在Q点运动过程中，恒有CQ⊥BD D.当Q为AD的一个三等分点时，平面B,QD截正方体 ABCD-ABCD所得的截面面积为2√6 试卷第2页，共4页 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知两点A(3,-4),B(-9,2),若AP=AB,则点P的坐标为 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为2V2,b-c=3, c0sA=-则a= 14.若一个正四枝台的上下底面分别是边长后和2V3正方形，且体积为号则该台体的外 接球的表面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)己知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中ā=(1，-1). (1)若G=45,且c∥ā，求向量c的坐标： (2)若6是单位向量，且a1(a+2b),求a与6的夹角日. 16.(本小题15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知V3 bsin C=a-bcosc. (1)求角B的大小： (2)若a=4V3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC 存在，求AC边上的高 条件①：b=√3；条件②：sin(A-C)=1;条件③：BA.BC=24. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 17.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，底 面ABCD是等腰梯形，AD/BC,∠BAD=60,BC=1,E是PD的中点. (1)求证：CE//平面PAB: (2)画出平面PAB与平面PCD的交线（保留作图痕迹）： (3)若AB⊥PB,求证：平面PBD⊥平面ABCD, 试卷第3页，共4页 18.(本小题17分)如图所示，某区有一块空地△OAB,其中OA=4km,OB=4km, ∠AOB=120°.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 △OMN,其中M,N都在边AB上，且∠MON=60°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形 成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安 B 装防护网. L)当4M=4W5m时，求防护网的总长度： 3 (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面 积的√倍，试确定∠AOM的大小： (3)为节省投入资金，人工湖AOMN的面积要尽可能小，当∠AOM取何值时，可使aOMN 的面积最小？最小面积是多少？ 19.（本小题17分)如图所示，在直角梯形BCEF中，BF11CE,∠BCE=90°，A,D分 别是BF,CE上的点，且AD//BC,ED=2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5, 将四边形ADEF沿AD向上翻折，连接BE,BF,CE,在翻折的过程中，记二面角E-AD一C 的大小为a,(0<<π). D (1)当t=2,a时，求三棱锥E-ADC的体积： (2)若平面FBE⊥平面CBE. ①求证：BF⊥CE: ②求cosa的最小值。 试卷第4页，共4页 试卷第5页，共1页 2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D A B A C C ABD BC ACD 6．因为，，所以，即， 也即，解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ，故选：A. 7．因为，所以， 因为，即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立.故选：C. 8．和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上， 又，所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，且. 取的中点，连接，则. 由题意知，，，所以. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，故， 设（），则，即. . 所以， 当时，取得最小值，为. 11．对于A，如图，因为在正方体中，平面平面， 且平面与平面的距离为正方体棱长，而， 所以三棱锥的体积，为定值，因此A正确； 对于B，，所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角， 由勾股定理得，， 在三角形中，由余弦定理，， 所以，B错误. 对于C，如图，连接，，，， 因为在正方体中，易知，，，平面，，∴平面，平面，∴，同理， ，、平面，∴平面， 而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以C正确； 对于D，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示， 设平面与，的交点分别为，，∵平面平面， ∴，同理， ∴平面截正方体所得的截面为平行四边形， ∵，∴，∴，∴, 由余弦定理的推论可求得， ∴，∴， 当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此D正确. 12．（-1，-2） 13．5 14． 15． （1）设，由，且， 得，……………………2分 所以或，……………………4分 故或；……………………6分 （2）因为，且， 所以，即.……………………7分 所以，……………………9分 即.……………………11分 因为夹角，所以与的夹角.……………………13分 16． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，……………2分 因为===+……………3分 所以，……………4分 因为，所以，………………5分 所以 因为,所以.………………7分 （2）解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且，……8分 所以，则，由，可得，…9分 因为，所以，解得，所以 ……………10分 由正弦定理，可得，…………12分 因为，可得，……………………13分 设边上的高为，可得面积为，所以，……14分 所以.…………………15分 选择条件③：由，……8分 根据向量的数量积的公式，可得，所以，……10分 因为且，所以，解得，……………………11分 由余弦定理， 可得，所以 ……………………13分 设边上的高为，可得面积为，所以，……14分 所以.……………15分 （注：若选择条件①，不给分；若选择条件①并说明不符合条件，没有对条件②，条件③进行解答，给2分； 若只选择条件②或条件③，无解答过程，给1分） 17．【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF，………1分 由是PD的中点，得， F 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，………3分 所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB.………5分 （2）延长AB,DC交于M，连接PM，PM即所求直线（图略）………………7分 （3）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点，………8分 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以，………………10分 又，平面PBD， 因此平面，…………13分 而平面ABCD， 所以平面平面ABCD.………………15分 18． 【详解】（1）在中，，，， 则，…………1分 在中，由余弦定理得： ，…………3分 即，则，可得，…………4分 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为.……5分 （2）设， 因为，即，…………6分 可得，…………7分 在中，由得：，…………9分 即，可得，…………10分 又因为，则， 则，解得，所以.…………11分 （3） 设，由（2）知：， 在中，由得：，…………13分 ，…………15分 当且仅当，即时，面积取最小值为.…………17分 19． 【详解】（1）根据题意可知⊥⊥,且 AD⊥EDC…………1分 且EDC为二面角E的平面角，即EDC==…………2分 =………4分 （2）①证明：过点C作⊥交于点H，…………5分 因为平面⊥平面，平面平面， 所以⊥平面……6分 又平面，则⊥；…………7分 根据题意平面图形翻折后⊥，⊥， 且，是平面内两条相交直线， 所以⊥平面，又，得⊥平面，…………8分 又平面，则BF⊥BC，…………9分 因为CH，BC是平面BCE内两条相交直线， 所以⊥平面；…………………10分 又平面，则BF⊥CE，…………………11分 ②取DE的中点S，连接SC， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得BF⊥CE ⊥，…………12分 在中，， 在中，， 在中，，因此，………14分 化简得到，………15分 因为，，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $