因数和倍数——找一个数的因数及因数的特征（同步练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2026学年五年级数学下册人教版因数和倍数 找一个数的因数及因数的特征 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．有60盒果汁饮料，选择（    ）的包装箱不能正好包装完。 A．18盒一箱 B．15盒一箱 C．12盒一箱 D.不确定 2．16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．一个数的因数（    ）它的倍数。 A．一定小于 B．一定大于 C．一定等于 D．小于或等于 4．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 5．一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是（    ）。 A．3 B．15 C．25 D．30 6．如果a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数 7．一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（    ）。 A．6 B．12 C．24 D.不确定 8．用16个同样大小的正方形拼成长方形或正方形，有（    ）种不同的拼法。 A．2 B．3 C．4 D．8 9．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。8则不是完全数，因为8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4≠8（≠：不等于）。下面四个数中，（    ）是完全数。 A．9 B．20 C．28 D．36 10．下面拼摆的图形中，（    ）不能表示12的因数。 A． B． C． D． 二、填空题 11．教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 12．设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于 。 13．20÷1＝（    ），20÷2＝（    ），20÷4＝（    ）。20的因数有（               ），其中最大的因数是（    ），最小的因数是（    ）。 14．12的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )；13的最小倍数是( )。 15．如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 16．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。 17．24的因数有 。在这些因数中，质数有 ，合数有 ， 既不是质数也不是合数。 18．把30个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，刚好装完，有( )种装法。（盒子数量大于1） 19．已知是非零自然数，最小的因数是( )，最大的因数是( )，最小的倍数是( )；若，它的因数有( )。 20．a的最大因数是15，则a的因数有( )；b既是25的因数，又是25的倍数，b是( )。 21．《西游记》是我国的四大名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 22．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6.像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。28的因数有( )，28( )完全数。（填“是”或“不是”） 23．一个数的最大因数是15，这个数的所有因数有 ，这个数的最小倍数是 。 24．一个数的最大因数是36，这个数的因数有( )个，这个数100以内最大的倍数是( )。 25．把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有( )种装法。 三、判断题 26．一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是4、12或36。( ) 27．一个自然数如果有因数6，它就一定有因数3。( ) 28．200的因数的个数比20的倍数的个数多。( ) 29．6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。( ) 30．一个数的最大因数是6，则这个数是6。( ) 31．一个数既是18的因数，又是18的倍数，这个数是18。( ) 32．自然数的因数个数最少是2个。( ) 33．18的因数是有限的，24的倍数是无限的。( ) 34．一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( ) 35．因为32比24大，所以32的因数的个数比24的因数多。( ) 四、计算题 36．写出下列数的所有因数。 12的因数有：    16的因数有： 18的因数有：    60的因数有： 五、作图题 37．一个长方形的面积是30cm2，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有哪些？在方格纸上画出来，并写出30的全部因数。（每个小方格的边长表示1cm） 30的全部因数：（    ）。 六、解答题 38．用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是（    ）厘米，最小是（    ）厘米。 39．在方格纸上画长方形，使得它的面积是16cm2，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1cm） （1）有哪几种画法？画一画。 （2）在下面横线上写出16的全部因数。 16的全部因数：________________ 40．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 41．金秋十月风和日丽，正是举办校园运动会的好时机。五年级要挑选48名身高基本一样的学生参加年级健美操表演，老师在组织训练时，常常将表演队员均匀排成几排（至少2排，每排至少2人），并且每排的人数都一样多，共有几种不同的排列方式？请用表格将不同的排列方式记录下来。 42．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 43．妈妈买56个桔子，让欢欢把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过8个，拿到最后一个不剩，欢欢有几种拿法，每种拿法每次拿几个？ 44．2024年4月广东部分地区出现洪水浸城，各地消防员紧急救援被困群众。平平一家为抗洪救灾的工作人员准备了苹果、牛奶和面包等干粮，其中苹果有80个，把这些苹果全部装到袋子里，每袋装得同样多，正好装完，一共有多少种装法？请写出你的装法。（每袋至少装2个，最多装30个） 45．韶关实验小学开展劳动实践活动。五（1）班的一部分同学负责种月季花，每人种的棵数相同。有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的总棵数，如下表。 姓名 聪聪 明明 伶伶 俐俐 棵数 79 83 85 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请结合第二单元知识说明理由。 （2）根据上面信息推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 46．军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 47．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 48．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 49．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 50．在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，，所以6是完全数。 请你判断8和28这两个数是否是完全数，并写出判断的过程。 参考答案与试题解析 1．A 【分析】要将60盒果汁饮料正好在包装箱中装完，即每个包装箱装的盒数能整除60，据此可得出答案。 【解析】A．60÷18＝3……6，不能整除60，则不能正好包装完； B．60÷15＝4，能整除60，则正好包装完； C．60÷12＝5，能整除60，则正好包装完。 故答案为：A 2．B 【分析】先找出16的所有因数，因为要求每组人数不能为1人、16人，所以排除1和16这两个因数，把剩下的因数分别看作组数，用总人数除以组数即可得到每组的人数，据此解答。 【解析】16＝1×16＝2×8＝4×4 ①16÷2＝8（人），可以分成2组，每组8人； ②16÷8＝2（人），可以分成8组，每组2人； ③16÷4＝4（人），可以分成4组，每组4人； 所以一共有3种分法。 故答案为：B 3．D 【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”，可知：一个数的因数和它的倍数比，可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数；据此解答。 【解析】由分析知：一个数的最大因数等于它的最小倍数，所以可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数。 故答案为：D 4．B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【解析】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 5．B 【分析】根据因数和倍数的概念：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此解答。 【解析】根据分析可知： 一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是15。 故答案为：B 6．C 【分析】如果整数a除以整数的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。商是整数且没有余数，所以1是17的因数，，商是整数且没有余数，所以17也是17的因数。因此17的因数只有1和17，对比选项，解决问题。 【解析】A.17也是17的因数，选项错误； B.1也是17的因数，选项错误； C.“a是1或17”，与17的因数只有1和17相符，选项正确； D.只有1和17能整除17，不是任意自然数，选项错误。 故答案为：C 7．B 【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，可见一个数本身既是其最大因数又是其最小倍数。 【解析】一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是它本身，也就是12。 故答案为：B 8．B 【分析】要将16个同样大小的正方形拼成长方形或正方形，需要找出16的所有因数对（长和宽）。1×16＝16，所以1和16是16的因数；2×8＝16，所以2和8是16的因数；4×4＝16，所以4是16的因数。当长为16，宽为1时，可拼成一个长方形。当长为8，宽为2时，可拼成一个长方形。当长为4，宽为4时，可拼成一个正方形。 【解析】16的因数有1，2，4，8，16。 长为16，宽为1，可拼成一个长方形； 长为8，宽为2，可拼成一个长方形； 长为4，宽为4，可拼成一个正方形。 所以共有3种不同的拼法。 故答案为：B 9．C 【分析】将各选项的因数求出，并将除了这个数本身的因数相加验证是否等于这个数本身，如果等于，这个数就是完全数。 【解析】A．9的因数有1、3、9，1＋3≠9，9不是完全数。 B．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10≠20，20不是完全数。 C．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完全数。 D．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18≠36，所以36不是完全数。 所以28是完全数。 故答案为：C 10．C 【分析】因数是指能够整除一个数的数。通过图形拼摆（可以理解为长方形的长和宽的组合，因为用小正方形拼长方形，长和宽的乘积就是小正方形的总数），判断哪个图形对应的数不是12的因数。 【解析】12的因数有1、2、3、4、6、12。 A．如果图形是长6、宽2的长方形，那么小正方形总数是6×2＝12，6和2都是12的因数。 B．图形是长12、宽1的长方形，小正方形总数是12×1＝12，12和1都是12的因数。 C．图形是长5、宽3的长方形，小正方形总数是5×3＝15，15不是12，而且5不是12的因数，3是12的因数，但这里长和宽的乘积不是12相关的，所以这个图形不能表示12的因数。 D．图形是长4、宽3的长方形，小正方形总数是4×3＝12，4和3都是12的因数。 所以这些拼摆的图形中，不能表示12的因数。 故答案为：C 11． 6 因数 【分析】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。 ②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。 【解析】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。 42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。 每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。 12．70 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，用除法找因数，从1开始试除：因为任何非0自然数都能被1整除，所以从1开始用要找因数的数除以1，得到的商就是它的一个因数；按顺序试除：接着用这个数除以2，若能整除，除数和商都是它的因数；避免重复：当除数和商接近或相等时，就不用再往后除了，因为后面的情况会和前面重复；找出所有因数，通过这样按顺序用除法试除，就能找出这个数的所有因数。 【解析】从1开始找3600的因数：3600÷1＝3600，所以1和3600是3600的因数；3600÷2＝1800，所以2和1800是3600的因数；3600÷3＝1200，所以3和1200是3600的因数；3600÷ 4＝900，所以4和900是3600的因数；3600÷5＝720，所以5和720是3600的因数；3600÷6＝600，所以6和600是3600的因数；3600÷8＝450，所以8和450是3600的因数；3600÷9＝400，所以9和400是3600的因数；3600÷10＝360，所以10和360是3600的因数；3600÷12＝300，所以12和300是3600的因数：3600÷15＝240，所以15和240是3600的因数；3600÷16＝225，所以16和225是3600的因数；3600÷18＝200，所以18和200是3600的因数；3600÷20＝180，所以20和180是3600的因数；3600÷24＝150，所以24和150是3600的因数；3600÷25＝144，所以25和144是3600的因数；3600÷30＝120，所以30和120是3600的因数；3600÷36＝100，所以36和100是3600的因数；3600÷40＝90，所以40和90是3600的因数；3600÷45＝80，所以45和80是3600的因数；3600÷48＝75，所以48和75是3600的因数；3600÷50＝72，所以50和72是3600的因数；3600÷60＝60，此时两个因数相同，算1个。经统计，3600的因数有45个，即M＝45。 从1开始找10000的因数：10000÷1＝10000，所以1和10000是10000的因数；10000÷2＝5000，所以2和5000是10000的因数；10000÷4＝2500，所以4和2500是10000的因数；10000÷5＝2000，所以5和2000是10000的因数，10000÷8＝1250，所以8和1250是10000的因数；10000÷10＝1000，所以10和1000是10000的因数；10000÷16＝625，所以16和625是10000的因数；10000÷20＝500，所以20和500是10000的因数；10000÷25＝400，所以25和400是10000的因数；10000÷40＝250，所以40和250是10000的因数；10000÷50＝200，所以50和200是10000的因数；10000÷80＝125，所以80和125是10000的因数；10000÷100＝100，此时两个因数相同，算1个。经统计，10000的因数有25个，即N＝25。 计算M＋N，45＋25＝70。 所以M＋N等于70。 13．20；10；5；1、2、4、5、10、20；20；1 有限；1；它本身 【分析】本题主要考查因数的相关概念及求因数的方法。因数是指整数a除以整数b的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。根据因数的概念，我们通过除法来找出20的所有因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此解答。 【解析】，，。20的因数有1、2、4、5、10、20，其中最大的因数是20，最小的因数是1。 根据上述分析，我知道：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 14．6 1 12 13 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。 【解析】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个； 12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。 15．13 【分析】根据题意[a]表示a的全部因数的和，据此先分别求出[12]与[8]的因数和，然后作差，即可解答。 【解析】12的因数有1、2、3、4、6、12； 8的因数有1、2、4、8。 [12]＝1＋2＋3＋4＋6＋12＝28 [8]＝1＋2＋4＋8＝15 [12]－[8] ＝28－15 ＝13 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝13。 16．27 7 【分析】求如果装成2篮，每篮几个，即把54个平均分成2份，用除法计算即可； 如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，求共有多少种不同的装法，需要找出54的所有因数，根据因数求出符合条件的装法。 【解析】54÷2＝27（个） 如果装成2篮，每篮27个。 54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 每篮装1个，可装54篮；每篮装2个，可装27篮；每篮装3个，可装18篮；每篮装6个，可装9篮；每篮装9个，可装6篮；每篮装18个，可装3篮；每篮装27个，可装2篮；每篮装54个，可装1篮（不符合题意）。所以共有7种不同的装法。 17．1、2、3、4、6、8、12、24 2、3 4、6、8、12、24 1 【分析】找一个数的因数的方法，用列乘法算式的方法。一个数（0除外）的因数只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；一个数（0除外）的因数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数就是合数；1既不是质数也不是合数。据此解答。 【解析】因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。在这些因数中，质数有2、3，合数有4、6、8、12、24，1既不是质数也不是合数。 18．7 【分析】先找出30的所有因数，再根据哪两个因数相乘是30来确定每盒装几个，装几盒。据此解答。 【解析】30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30； 30＝1×30；一盒30个，装1盒不能体现每个盒子装得同样多所以不可以这样装；每盒装1个，装30盒； 30＝2×15，一盒装15个，装2盒；或每盒装2个，装15盒； 30＝3×10，一盒装10个，装3盒；或每盒装3个，装10盒； 30＝5×6，一盒装6个，装5盒；或每盒装5个，装6盒； 所有共有7种装法。 19．1 1、2、3，6、9、18、27、54 【分析】一个非零自然数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；它的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；求54的因数，只需找出乘积等于54的因数对即可，据此解答。 【解析】因为54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 所以54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。 已知是非零自然数，最小的因数是1，最大的因数是，最小的倍数是；若，它的因数有1、2、3，6、9、18、27、54。 20．1、3、5、15 25 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此确定a的值，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定b的值。 【解析】a的最大因数是15，则a是15。 15＝1×15＝3×5 a的最大因数是15，则a的因数有1、3、5、15；b既是25的因数，又是25的倍数，根据分析，b是25。 21．1，3，9，27，81 81 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【解析】81＝1×81＝3×27＝9×9 81的因数有（1，3，9，27，81），81的最小倍数是（81）。 22． 1，2，4，7，14，28 是 【分析】一个数能被一些数整除，则这些数就是这个数的因数。可先找出28的因数，运用两个整数乘积等于28找出因数，再根据题干中的关系式进行计算、判断，进而得出答案。 【解析】28的因数有：1，2，4，7，14，24，则除了它本身28以外因数之和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，是这个数本身。故28是完全数。 23．1、3、5、15 15 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 已知一个数的最大因数是15，那么这个数是15，列举出15的所有因数即可；这个数的最小倍数也是它本身。 【解析】15＝1×15＝3×5 一个数的最大因数是15，这个数的所有因数有1、3、5、15，这个数的最小倍数是15。 24．9 72 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，最后求出符合条件的倍数即可。 【解析】分析可知，这个数是36。 36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个因数。 36×1＝36 36×2＝72 36×3＝108（不符合题意） 所以，一个数的最大因数是36，这个数的因数有9个，这个数100以内最大的倍数是72。 25．5 【分析】题目要求将18个球平均装在多于1个的相同盒子里，刚好装完。这需要找出18的所有大于1的因数，每个因数对应一种装法。 【解析】18的因数有1、2、3、6、9、18； 18的因数大于1的有：2、3、6、9、18，共5个。 把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有5种装法。 26．√ 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此判断即可。 【解析】4的倍数：4、8、12、16、20、24、 30、36…… 36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 一个数既是4的倍数，又是36的因数，这个数可能是4、12或36。原题干说法正确。 故答案为：√ 27．√ 【分析】根据因数的定义，若一个自然数有因数6，则它必定能被6整除。由于6＝2×3，因此该自然数必定含有因数3。 【解析】假设自然数N有因数6，则N是6的倍数，可表示为N＝6k（k为自然数）。因为6＝2×3，所以N＝2×3×k。无论k取何自然数，N中必然包含因数3，因此N一定有因数3。结论正确。 故答案为：√ 28．× 【分析】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的。200的因数个数有限，20的倍数个数无限，因此有限的数量不可能比无限的数量多。 【解析】200的因数个数是有限的，具体有12个（如1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200）。20的倍数有20、40、60、80……，个数无限。有限的数量不可能比无限的数量多，所以原说法错误。 故答案为：× 29．√ 【分析】根据题目条件，判断28是否是完美数，要先找出28的所有因数，再计算除28外几个因数的和。 【解析】28的因数：1，2，4，7，14，28 1＋2＋4＋7＋14＝28，因此28是完美数。 故答案为：√ 30．√ 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，据此判断。 【解析】6的因数有：1，2，3，6；其中最大的因数是6。原题说法正确。 故答案为：√ 31．√ 【分析】因数和倍数的定义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。用乘法计算出18的因数和倍数，再进行判断。 【解析】18＝1×18＝2×9＝3×6 18×1＝18、18×2＝36、18×3＝54、18×4＝72…… 18的因数有1、2、3、6、9、18，其中最大的因数是18；18的倍数有18、36、54……，其中最小的倍数是18。因此，既是18的因数又是18的倍数的数只能是18本身。 故答案为：√ 32．× 【分析】自然数的定义中包括1，而1的因数只有它本身，即1个因数。因此，自然数的因数个数最少应为1个，而非题目所述的2个。 【解析】根据因数的定义，一个自然数的因数个数最少的情况出现在自然数1时，其因数只有1本身，因此因数个数为1个。例如，自然数1的因数有1，共1个；自然数2的因数为1和2，共2个。由此可知，自然数的因数个数最少是1个，而非2个。所以题目中的说法错误。 故答案为：× 33．√ 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【解析】18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，是有限的；24的倍数有24、48、72……，因此24的倍数是无限的。原题说法正确。 故答案为√。 34．√ 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此解答。 【解析】一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，如：8的因数有1，2，4，8，最大的因数是8；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，如：8的倍数有8，16，24，32，40，……最小的倍数是8，所以题目说法正确。 故答案为：√ 35．× 【分析】判断一个数的因数个数是否比另一个数多，不能仅根据数值大小，而应列举出所有因数进行比较。 【解析】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个； 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 8＞6，所以24的因数个数比32的因数个数多。 虽然32比24大，但是32的因数个数比24的因数个数少。 原题干说法错误。 故答案为：× 36．1、2、3、4、6、12；1、2、4、8、16； 1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解析】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1、2、3、4、6、12； 16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有：1、2、4、8、16； 18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有：1、2、3、6、9、18； 60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 37．（1）见详解； （2）1；2；3；5；6；10；15；30。 【分析】根据30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，在方格图上分别画出长为30厘米、宽为1厘米；长为15厘米、宽为2厘米；长为10厘米、宽为3厘米；长为6厘米、宽为5厘米的长方形，并写出30的全部因数即可。 【解析】（1） （2）30的全部因数：1；2；3；5；6；10；15；30。 38．（1）列表见详解；5； （2）74；24； 【分析】用36个小正方形拼成长方形（或正方形），面积不变（36平方厘米）。长方形的长和宽必须是36的因数，且长≥宽。因此需列举36的所有因数对（长、宽），计算不同拼法的周长，再比较最大值和最小值。 【解析】 长（厘米） 36 18 12 9 6 宽（厘米） 1 2 3 4 6 （1）一共有5种不同的拼法。 （2）（36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 74＞40＞30＞26＞24 在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是74厘米，最小是24厘米。 39．（1）有三种画法，图见详解。 （2）1、2、4、8、16 【分析】（1）长方形面积＝长×宽，面积是16平方厘米，可根据两个整数相乘等于16，得出这两个数，即为长方形的长和宽。每个方格表示1厘米，则可在方格中画出长方形。 （2）能整除16的数，就是16的因数，据此作答即可。 【解析】（1）16＝4×4，16＝8×2，16＝16×1，则长方形的长和宽可以分别为：4和4、8和2、16和1。 可在方格中画出如图： （2）16的全部因数：1、2、4、8、16。 40．4种；列举见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和20之外20的所有因数即可。 【解析】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。 答：可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。共有4种分法。 41．8种；表格见详解 【分析】由题意可知，排数和每排的人数都是总人数的因数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此找出所有符合条件的因数，即可求得。 【解析】48÷1＝48 48÷2＝24 48÷3＝16 48÷4＝12 48÷6＝8 因为至少2排，每排至少2人，所以符合条件的因数有2、3、4、6、8、12、16、24。 表格如下： 排数 2 3 4 6 8 12 16 24 每排人数 24 16 12 8 6 4 3 2 综上所述，共有8种不同的排列方式。 答：共有8种不同的排列方式。 42．一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【解析】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 43．4种；每次拿2个、4个、7个、8个。 【分析】分析56的因数，因数大于1，小于等于8的有几个因数，欢欢就有几种拿法。 【解析】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，即56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56共8个，大于1，小于等于8的因数有2，4，7，8共四种因数。 答：则欢欢有4种拿法，每次拿2个、4个、7个、8个 44．7种；袋法见详解 【分析】将80个苹果装入袋子，每袋数量为80的因数，且介于2至30之间。需找出符合条件的因数个数。 【解析】80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 每袋至少装2个，最多装30个；剩余有2，4，5，8，10，16，20； 每袋可以装2个：80÷2＝40（袋） 每袋可以装4个：80÷4＝20（袋） 每袋可以装5个：80÷5＝16（袋） 每袋可以装8个：80÷8＝10（袋） 每袋可以装10个：80÷10＝8（袋） 每袋可以装16个：80÷16＝5（袋） 每袋可以装20个：80÷20＝4（袋） 一共有7种装法。 答：每袋装得同样多，正好装完，一共有7种装法。 45．（1）伶伶；（2）17人；5棵 【分析】（1）每个人种的棵数相同，说明总棵数除了1和它本身两个因数外还有其它的因数，据此只要判断这4个数哪个数的因数至少有3，那么这位同学的说法就正确，叙述理由，可以从因数的个数方面来叙述。 （2）根据（1）可知85的因数，五（1）班种月季花的人数不可能是1，也不可能是85，因为这个人数不符合实际情况，所以这个班种月季花的人数可能是17人，而17乘5得85，所以每人种5棵，据此解答。 【解析】（1）85的因数有1、5、17、85。 79的因数有1、79。 83的因数有1、83。 89的因数有1、89。 答：伶伶数对了，因为85的因数有1、5、17、85。 （2）85＝5×17 答：五（1）班种月季花的有17人，平均每人种5棵。 46．4种 【分析】已知侦察队共有45人，需分组且每组人数一样，不能一人单独行动，即每组人数需大于1且为45的因数。首先找出45的所有因数，45的因数有1、3、5、9、15、45。由于每组不能1人，排除因数1，剩下的因数为3、5、9、15、45。但分组时每组人数需合理，若每组45人则为1组，属于整体行动，通常分组应至少分2组，所以排除45（此时组数为1）。因此符合条件的每组人数为3、5、9、15，对应的组数分别为45÷3＝15组、45÷5＝9组、45÷9＝5组、45÷15＝3组，共4种分组方法。 【解析】45÷3＝15（组） 45÷5＝9（组） 45÷9＝5（组） 45÷15＝3（组） 答：有4种分组方法：每组3人，分15组；每组5人，分9组；每组9人，分5组；每组15人，分3组。 47．3种；6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子 【分析】先找出24的所有因数，再筛选符合条件的因数，最后根据月饼个数÷每个袋子装的个数＝袋子数，计算对应的袋子数量。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解析】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 大于等于5且小于等于15的有：6、8、12。 24÷6＝4（个） 24÷8＝3（个） 24÷12＝2（个） 答：有3种装法，6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子。 48．6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解析】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 49．3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【解析】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 50．8不是完全数，28是完全数。 【分析】根据题意得：一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。据此判断8、26的因数，据此可得出答案。 【解析】8的因数有1、2、4、8，非本身的因数相加：，结果不是8，则8不是完全数； 28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加：，则28是完全数。 答：8不是完全数，28是完全数。 学科网（北京）股份有限公司 $