专题02 勾股定理（期中复习课件，5重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

这是一份人教版八年级数学下学期期中复习课件，围绕勾股定理专题，构建“期中考情分析-必备知识梳理-重难点题型突破-分层验收训练”的学习支架，涵盖定理内容、逆定理、勾股数等核心知识，以及折叠、实际应用等五类题型解析。 资料特色突出核心素养培养，通过梯子滑动、小鸟下降等实际问题引导学生用数学眼光观察现实世界，借助分类讨论、方程法等培养逻辑推理能力，以赵爽弦图证明等渗透数学语言表达。分层训练适配不同学情，助力学生系统掌握勾股定理，也为教师提供结构化教学方案。 八年级学生处于逻辑思维发展关键期，需巩固基础并提升综合应用能力。本资料通过易错点辨析和分层练习，帮助学生突破折叠问题、分类讨论等难点，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

专题02 勾股定理 八年级数学下学期 期中复习大串讲 人教版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的内容 理解并记忆勾股定理的文字语言和符号语言，能直接应用定理进行计算。 选择题、填空题常考，主要考查定理的基本内容和简单应用。 勾股定理的证明 了解勾股定理的多种证明方法（如面积法），理解其内在逻辑。 偶尔在解答题中出现，要求简述证明思路或完成证明过程。 勾股定理的逆定理 掌握逆定理的内容，能利用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 选择题、解答题均有涉及，常与几何图形性质结合考查。 勾股数 熟记常见的勾股数（如 3,4,5；5,12,13 等），能快速识别和应用。 填空题、选择题中用于快速计算，简化运算过程。 勾股定理的实际应用 能运用勾股定理解决生活中的实际问题（如测量、航海、几何图形计算等）。 解答题的重点和难点，分值较高，需要建立数学模型。 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 勾股定理 知识点01 1.定义：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（a、b为直角边，c为斜边）。 3.公式变形（已知两边求第三边）： ① 已知直角边a、b，求斜边c：（c>0，边长为正数）； ② 已知斜边c和直角边a，求另一直角边b：（b>0）； ③ 已知斜边c和直角边b，求另一直角边a：（a>0）。 核心说明：仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用；勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一。 勾股定理的逆定理 知识点02 1.定义：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形（其中c为最大边，对应的角为直角）。 2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找三角形的最长边； ②算：计算最长边的平方与另两边的平方和； ③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 核心说明：逆定理是判定直角三角形的重要方法，与勾股定理互为逆命题，可用于判断三角形的形状。 勾股数 知识点03 1.定义：满足的三个正整数，叫做勾股数。 2.常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41； 易错提醒：勾股数必须是正整数，且满足“最大数的平方等于另外两个数的平方和”；勾股数的倍数（如6,8,10；10,24,26）也是勾股数。 核心方法与技巧 知识点04 1.建模法：将实际问题转化为直角三角形问题，找准直角边、斜边，运用勾股定理求解（关键：找到题目中的直角关系，构造直角三角形）。 2.方程法：遇到折叠、边长关系不确定的问题，设未知数，利用勾股定理列方程求解（核心：找到相等的线段，建立等量关系）。 核心方法与技巧 知识点04 3.分类讨论法：当斜边不确定时（如已知直角三角形两边，未明确哪条是斜边），需分两种情况讨论，避免漏解。 4.勾股定理证明方法（核心思路）：赵爽弦图（利用面积法，将大正方形面积转化为4个全等直角三角形面积与小正方形面积之和，推导得出）、毕达哥拉斯证法（利用图形分割与面积相等推导），期中可能考查证明思路简述。 易错点辨析 知识点05 误区1：任意三角形都能运用勾股定理。 纠正：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形的三边不满足。 误区2：运用逆定理时，不判断最大边，直接用任意两边平方和与第三边平方比较。 纠正：必须先找出三角形的最大边，再验证“最大边的平方是否等于另外两边的平方和”，若满足则为直角三角形，否则不是。 易错点辨析 知识点05 误区3：计算时忽略边长为正数，出现根号下为负数或边长为负数的情况。 纠正：边长为正数，根号下的式子必须为非负数，计算后需舍去负根。 误区4：折叠问题中，忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，无法找到直角三角形的边长关系。 纠正：折叠问题的核心是“全等”，先标记对应相等的线段和角，再构造直角三角形求解。 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 解｜题｜技｜巧 1. 明确折叠性质：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； 2. 标记相等线段，设未知数（通常设所求线段为x）； 3. 构造直角三角形，找出直角边、斜边与未知数的关系； 4. 运用勾股定理列方程，求解未知数，验证答案合理性。 易错提醒：忽略折叠前后对应边相等，无法用含未知数的代数式表示直角三角形的三边；未找准直角三角形，导致列错方程 勾股定理与折叠问题 题型一 【例1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是________． 解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴，在中，，设，则， ∴，解得：，即， 【变式1-1】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 解：∵，，， ∴， 由折叠，得， ∴， ∵，∴，解答，∴． 答：CD的长为． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 解： ，，设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得，即的长为． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． （1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得： ， 设，则， 由勾股定理得：，，解得：，； 【变式1-3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． （2）解：点落在直角边的中点上，， 由折叠的性质可得：，设， 则，由勾股定理可得： ，，解得：， 即，∴．作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上，∴，， ∴，∴，由折叠的性质可得：， 【变式1-3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． (2)设，则，由勾股定理可得：， ，解得：，即， ∵， ， ∴， 由折叠的性质可得：，∴，∴． 解｜题｜技｜巧 勾股定理与实际问题 题型二 1. 审题：找出题目中的实际场景，明确已知条件和所求问题； 2. 建模：将实际场景转化为直角三角形模型，确定直角边、斜边（关键：找到直角关系，如垂直、水平方向的线段构成直角）； 3. 计算：运用勾股定理及变形公式，结合已知条件求解，必要时设未知数列方程； 4. 检验：验证答案是否符合实际场景（如长度为正数、距离合理），规范书写解题步骤。 易错提醒：无法将实际场景转化为直角三角形模型；混淆直角边与斜边，尤其是梯子滑动后，误将下滑距离当作直角边的变化量，列错等式。 【例2-1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 【例2-2】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到 地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． （1）由题意知，∵米，米． 在中 米， （2）设，到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，，在中，， ，解得，小鸟下降的距离为米． 【例2-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响．1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为， 则居民楼受到影响的时间有多长？ （1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：，∵∠QPN=30°，AP=160m ， ∴，∵80<100，∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵，∴，， ∴，∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 解：∵，， ∴，∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） （1）解：由题意可得：，， ，∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为 ； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 解｜题｜技｜巧 勾股定理与分类讨论问题 题型三 识别分类情况：当题目中未明确直角三角形的斜边、直角边，或图形位置不 确定时，需分类讨论； 2. 分情况构造直角三角形，明确每种情况的边长关系； 3. 分别运用勾股定理求解，验证每种情况的合理性（如边长为正数、三角形存在）； 4. 总结所有符合条件的答案，避免漏解。 易错提醒：未考虑分类情况，直接默认其中一边为斜边，导致漏解；计算时忽 略三角形三边关系，验证答案合理性。 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 解：过点A作于点D，∵，∴， 设如图1，当点Q在线段上时， 点Q在之间时， ∵，∴，即， 在中，由勾股定理得：， 即，∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 点Q在之间时，同理可得：； 如图2，当点Q在线段的延长线上时，∵，∴， 即， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）； 当点Q在线段的延长线上时，同理可得：； 综上所述，或， 故答案为：5或． 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，Q为直线上一动点，连，当，时，________． 5或 【变式3-1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 解：如图1，当时， ， ，，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有，解得， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 解：如图，当时，， ，， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 或 【变式3-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． 解：，，， ，，， ，， ，点在线段的垂直平分线上， 又 是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意，如图所示，点、、符合题意， ①当点在上时，如上图点， ，， ； 【变式3-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为________． ②当点在上时，如上图点，为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去）， ③当点在上时，如上图点，设，那么， ，，，， ．综上所述，的长为或10或． 或10或 解｜题｜技｜巧 勾股定理与几何综合题 题型四 1. 结合全等三角形、等腰三角形等知识，找到图形中的相等线段、相等角； 2. 构造直角三角形（如作高、作垂线），将分散的边长转化到同一个直角三角形中； 3. 运用勾股定理列方程，结合已知条件求解，注意多步推理的逻辑性； 4. 检验答案，确保符合几何图形的性质。 易错提醒：不会作辅助线构造直角三角形；忽略等腰三角形、全等三角形的性质，无法找到直角关系；综合推理时逻辑混乱，步骤不规范 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． （1）证明：∵的角平分线交于点， ， 在和中， ∴，； 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． （2）证明：如图2所示：同（1）可证， ，， ∵，，∵， ，∵，， ，， 由对称得，； （3）解：连接，，过作交于， 如图3所示：，， ∵， ，在和中， ∴，，，， 由对称得，，，∵，， ，在和中， ∴，，， 在中，，，则由勾股定理可得：． 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【变式4-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． （1）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． （2）解：∵，∴∵， ∴，∵， ∴，∵，， ∴直线是线段的垂直平分线，∴，∴， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，相交于点O，，，E为边上一点，且，． (3)若，，求的长． （3）解：连接，过点C作于点F，∵，， ∴直线是线段的垂直平分线，∴，， ∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴， 设，则，， 根据勾股定理，得，∴，解得（舍去），∴，∵， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 （1）解：根据题意，，，，由平分的面积， 得，∴，∵，∴，解得； （2）解：当是以为底的等腰三角形，， 根据题意得，， ，∵，∴， ，解得； （3）解：连接，∵，，，，， ∴，根据勾股定理，得， 当点P在上时，∵ ∴，∴，设， ∵，，∴，解得， ∴，∴，解得．当点P在的延 长线上，∵ ∴，∴，设，∵，，∴， 解得，∴，∴，解得．∴，解得．故当或时，． 【变式4-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 解｜题｜技｜巧 勾股定理与最值问题 题型五 1.判断最值类型：明确是求“最短路径”“最长线段”还是“最短距离”，结合题目场景确定转化方向（平面图形常利用对称，立体图形常利用展开）； 2.转化图形：将最值问题转化为直角三角形问题——平面图形中，通过作对称点，将折线转化为线段（利用两点之间线段最短）；立体图形中，将侧面展开为平面图形，构造直角三角形； 3.构造直角三角形：确定转化后线段对应的直角三角形，标注已知边、未知边，明确直角边和斜边的关系； 4.计算求解：运用勾股定理计算线段长度，即为所求最值； 5.验证合理性：结合图形实际，确认所求最值符合题意（如线段长度为正数，路径符合图形约束）。 解：（1）∵，平分交于点∴ ∵，∴，故答案为：． （2）∵，，∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分，∴，又，∴，∴，∴，当、、三点共线时， 最小，最小值为，∵，，∴，∴，∴，， ∴， ∴的最小值为．故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． ． 解：作点C关于的对称点E，作，使得， 连接，，．则，，∴ ，∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∵E，C关于对称，∴，∴ ，∴的最小值为13，∵， ，，∴，，，∴， ∴，∵与的周长的和为：， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 30 解：如图：连接，由作法知是的垂直平分线， ∴，∴， 线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 【变式5-2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 8 【变式5-3】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为____________． 解：过A点作于H点，如图，∵， ∴，在中， ∴，∵沿折叠得到， ∴，∴， ∴当最短时，最大，此时， ∵，∴， ∴的最大值为，故答案为：6． 6 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． D 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 2.（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a，∴,∴． D 3．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． C 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 解：∵，，，要使公路的造价最低，则， ，， 故这条公路的最低造价为：（元）， 72000． 5．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 解：根据题意得，，，，，，，， 是直角三角形，，， ，， 6．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴． 7．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 证明：如图，连接，由题意，得， ， ， . . ， 化简得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，∵的平分线交于点D，∴， ∵，，∴，∴， ∴，当点A，E，G三点共线时，取得 最小值，最小值为的长，∵，，，且，∴，直线是线段的垂直平分线，∴，∵，∴． ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为_______． 解：∵，，，∴， 过点作交延长线于点，则， ， ∵四边形面积为， ∴， 又∵，∴，则，延长至使得，∴是的垂直平分线，∴， 则，当点在上时取等号，∴的最小值为． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． （1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， 设，则，∵，， ∴，解得：，∴， 则小明所在的E站应在离A站处． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，， ，∴，∴ ．∴的最小值即为，即此时，∴，∴，∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． （1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点，∴， ∴，∴， ∴，即， ∵，∴， ∴，∴为直角三角形； 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． （2）解：在中，∵， ∴，∴，∵点是中点， ∴，当时，此时， 由折叠的性质得：，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． (2)如图，当时，过点E作交 于点G，连接，则，∴， 设，则， ∴，， 在和中，∵， ∴，∴，∴， 在中，，∴， 解得：，∴； 综上所述，的长为6或； 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______ 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． （1）解：，， ，， ， ， ， 故答案为：； 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． （2）证明：于点， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ； 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $