2.4 导数的四则运算法则 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.4 导数的四则运算法则 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列求导运算错误的是 （　　） A.'=1+ B.（log2x）'= C.（3x）'=3x D.（x2cos x）'=-2xsin x 答案：ACD 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2（g=10 m/s2），当t=5 s时，该质点的瞬时速度为 （　　） A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s 解析：选C　因为s'=60-gt，所以当t=5 s时，s'=60-5g=10 m/s.故选C. 3.曲线f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）在原点处的切线方程为 （　　） A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x 解析：选A　因为f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），所以f'（x）=（x-1）（x-2）（x-3）+x·[（x-1）（x-2）（x-3）]'，所以f'（0）=（-1）×（-2）×（-3）+0=-6，所以切线方程为y=-6x. 4.已知函数f（x），g（x）满足f（x）=exg（x），若f（x）-f'（x）=e1+x，则g'（x）= （　　） A.ex B.-e1-x C.e D.-e 解析：选D　因为g（x）=，所以g'（x）==-=-e. 5.已知曲线y=在点（0，a）处的切线方程为y=x+b，则a+b= （　　） A.2 B.e C.3 D.2e 解析：选A　根据导数的运算公式y'==，当x=0时，y'=2-a，∴2-a=1，即a=1.∵（0，1）在切线y=x+b上，即b=1，∴a+b=2.故选A. 6.已知f（x）=ax2+ln x，且=6.若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线bx+ay+1=0垂直，则a+b= （　　） A. B. C. D.0 解析：选A　依题意，=2×=2f'（1）=6，f'（1）=3，则-×3=-1，a=3b.又f（x）=ax2+ln x，f'（x）=2ax+，f'（1）=2a+1=3，a=1，所以b=，所以a+b=.故选A. 7.函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-2] B.（-∞，2） C.（2，+∞） D.（0，+∞） 解析：选B　函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，即f'（x）=2在（0，+∞）上有解.所以f'（x）=+a=2在（0，+∞）上有解，则a=2-.因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是（-∞，2）. 8.已知过点A（a，0）作曲线y=（2-x）ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为 （　　） A.-2或2 B.-1或3 C.3 D.-2 解析：选A　设切点为（x0，（2-x0）-1），由已知得y'=（1-x）ex-1，则切线斜率为（1-x0）-1，所以切线方程为y-（2-x0）-1=（1-x0）-1（x-x0）.因为直线过点A（a，0），所以-（2-x0）-1=（1-x0）-1（a-x0），化简得-（a+2）x0+a+2=0，又因为切线有且仅有1条，所以Δ=（a+2）2-4（a+2）=0，解得a=-2或a=2. 9.设对于曲线f（x）=-ex-x上任一点处的切线l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　由f'（x）=-ex-1，得曲线y=f（x）在x=m处的切线斜率为f'（m）=-em-1<-1.由g'（x）=3a-2sin x，得曲线y=g（x）在x=n处的切线斜率为g'（n）=3a-2sin n.又曲线g（x）上总存在切线l2满足l1⊥l2，且∈（0，1），而sin n∈[-1，1]，则3a-2sin n∈[3a-2，3a+2]，故（0，1）⊆[3a-2，3a+2]，所以解得-≤a≤，即a∈. 10.（5分）（2025·新课标Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=　　　　.  解析：由曲线y=ex+x+a，得y'=ex+1，令y'=ex+1=2得x=0， 代入y=2x+5，得切点为（0，5）， 再将（0，5）代入y=ex+x+a，得a=4. 答案：4 11.（5分）已知函数f（x）=ln x+x，过原点作曲线y=f（x）的切线l，则切线l的斜率为　　　　.  解析：由题意得，f'（x）=+1，设切点为P（x0，ln x0+x0），则切线方程为y=（x-x0）+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0=·（-x0）+ln x0+x0=ln x0-1，解得x0=e，所以f'（x0）=f'（e）=+1. 答案：+1 12.（5分）（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=　　　　　　　.  解析：由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在（0，1）处的切线方程为y=2x+1.由y=ln（x+1）+a得y'=， 设切线与曲线y=ln（x+1）+a相切的切点为（x0，ln（x0+1）+a）， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 答案：ln 2 13.（5分）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为　　　　m/s.  解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，=，即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt，即h=4，h'（t）=4×，所以当t=1时，h'（1）=. 即水面上升的速度为 m/s. 答案： 14.（10分）已知函数f（x）=ln x+ax2+x（a∈R），且f'（1）=4. （1）求a的值；（4分） （2）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程.（6分） 解：（1）由f（x）=ln x+ax2+x， 得f'（x）=+2ax+1， 又f'（1）=4，所以1+2a+1=4，解得a=1. （2）由a=1，得f（x）=ln x+x2+x， 所以f（2）=ln 2+6，即切点为（2，ln 2+6）， 又切线的斜率为k=f'（2）=， 所以函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln 2+6）=（x-2），即11x-2y+2ln 2-10=0. 15.（10分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数，若f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”. 现已知f（x）=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题： （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（4分） （2）求证：f（x）的图象关于“拐点”A对称.（6分） 解：（1）∵f'（x）=3x2-6x+2，f″（x）=6x-6， ∴令f″（x）=6x-6=0，得x=1.有f（1）=1-3+2-2=-2，∴“拐点”A为（1，-2）. （2）证明：设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则y0=-3+2x0-2.P（x0，y0）关于“拐点”A（1，-2）的对称点为P'（2-x0，-4-y0）.把点P'坐标代入y=f（x）得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=（2-x0）3-3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-+3-2x0-2， ∴左边=右边，∴点P'（2-x0，-4-y0）在y=f（x）的图象上.∴y=f（x）关于“拐点”A对称. 学科网（北京）股份有限公司 $