2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·河南商丘部分学校高二联考)已知函数f(x)＝x＋4sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．5x－y＝0　　　　 B．5x＋y＝0 C．x－5y＝0 D．x＋5y＝0 解析　f′(x)＝1＋4cos x，f(0)＝0，f′(0)＝5，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝5x，即5x－y＝0.故选A. 答案　A 2．(2025·广州高二月考)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1，故选C. 答案　C 3．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　f′(x)＝， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 答案　A 4．(多选题)直线y＝x＋b可以作为下列函数图象的切线的有(　　) A．y＝＋x B．y＝ C．y＝－x3＋x2 D．y＝ex－x 解析　因为直线y＝x＋b的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1. A．y′＝－＋1＝1，无解，故A不正确； B．y′＝＝1，解得x＝1，故B正确； C．y′＝－3x2＋2x＝1，即3x2－2x＋1＝0，Δ<0，无解，故C不正确； D．y′＝ex－1＝1，解得x＝ln 2，故D正确．故选BD. 答案　BD 5．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为 ． 解析　f′(x)＝若f′(a)＝12，则或 解得a＝或a＝－4. 答案　或－4 6．已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝ ． 解析　对f(x)求导， 得f′(x)＝2x＋2f′， f′＝2×＋2f′， 所以f′＝. 答案　 7．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝ ． 解析　因为y′＝(ax＋a＋1)ex， 所以当x＝0时，y′＝a＋1， 所以a＋1＝－2，所以a＝－3. 答案　－3 8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，求函数g(x)＝xf(x)在点(3，g(3))处的切线方程． 解析　因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图象可知f(3)＝1，又点(3，1)在直线l上， 所以3k＋2＝1，从而k＝－， 所以f′(3)＝k＝－， 因为g(x)＝xf(x)， 所以g(3)＝3f(3)＝3， g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0， 即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零， 所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3. [关键能力·综合提升] 9．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人，在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，在(a，b)上f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凹函数”．则下列函数在(0，2π)上是“凹函数”的是(　　) A．f(x)＝x－sin x B．f(x)＝x2＋sin x C．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝ex－x ln x 解析　对于A，f′(x)＝1－cos x，f″(x)＝sin x，当x∈(π，2π)时，f″(x)<0，不符合题意； 对于B，f′(x)＝2x＋cos x，f″(x)＝2－sin x>0在(0，2π)上恒成立，符合题意； 对于C，f′(x)＝1＋，f″(x)＝－<0，不符合题意； 对于D，f′(x)＝ex－ln x－1，f″(x)＝ex－，则f″＝e－e<0，不符合题意．故选B. 答案　B 10．(多选题)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 解析　在A中，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求； 在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝＝ ln ＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求； 在C中，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，作出y＝ln x，y＝(x>0)的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求； 在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，令＝－，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD. 答案　ACD 11．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x). (1)则f(1)＋f′(1)的值为 ． (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为 ． 解析　(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0时导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0). 答案　(1)3a＋1　(2)(－∞，0) 12．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝ ． 解析　法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5， 可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 故答案为4. 法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则解得a＝4. 故答案为4. 答案　4 13．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x). (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； (2)若存在曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝1＋，g′(x)＝－， 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1) ＝3， 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a. 由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以a＝－3. (2)由题意，得1＋＝－(x>0)， 则a＝－x－≤－2， 当且仅当x＝时，等号成立，故实数a的取值范围为(－∞，－2]. [学科素养·探索创新] 14．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝ ． 解析　因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f′(0)＝84＝212＝4 096. 答案　4 096 15．(2025·河北衡水高二联考)设f(x)＝sin x－x cos x，求证：曲线f(x)在点P处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1. 证明　∵f＝1，∴P，又f′(x)＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x，∴切线斜率k＝f′＝，∴曲线f(x)在点P处的切线方程为y－1＝·，即y＝x＋1－，当x＝0时，y＝1－；当y＝0时，x＝－.∴S＝·＝，由3.1<π<3.2，得49.6<16π<51.2，5.6<π2－4<6.3，31.4<(π2－4)2<39.7，∴0.6<<0.8，即S＝<1.故命题得证． 学科网（北京）股份有限公司 $