课时作业17 导数的四则运算法则（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十七)　导数的四则运算法则 　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2＋1，则f′(1)＝6 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 解析：选ABC　D中，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x． 2．函数y＝的导数是(　　) A． B． C． D． 解析：选A　y′＝′ ＝ ＝＝. 3．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为(　　 ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0 解析：选B　y′＝＝－， 当x＝1时，y′＝－1， 所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0，故选B. 4．(多选)设点P是曲线y＝x3－x＋上任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析：选ABD　设P(x0，y0)，因为y＝x3－x＋， 所以y′＝3x2－，∴点P处的斜率k＝3x－， ∴tan α＝3x－≥－. ∴α∈∪. 所以A，B，D都能取到． 5．已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________． 解析：对f(x)求导， 得f′(x)＝2x＋2f′， f′＝2×＋2f′， 所以f′＝. 答案： 6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝______． 解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1). ∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得a＝1. 答案：1 7．求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋x sin x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝. 解：(1)y′＝(3x2)′＋(x sin x)′ ＝6x＋sin x＋x(sin x)′ ＝6x＋sin x＋x cos x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ ＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3) ＝ex(x2＋2x＋3)＋2x ln x＋x＋. (3)y′＝′ ＝ ＝. 8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b， 又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a， 解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b. 又因为f′(2)＝－b， 所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－. 所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f(1)＝－. 又因为f′(1)＝2a＝－3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. [能力提升练] 9．(多选)已知函数f(x) ＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的实数m都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值可以为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选AB　因为f′(x)＝3x2－3a≥－3a，所以要使直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线， 则f′(x)＝3x2－3a与直线x＋y＋m＝0没有交点， 又抛物线开口向上，则必在直线上面， 即f′(x)的最小值大于直线的斜率， 则当x＝0时，f′(x)取最小值，即－3a>－1，所以a<. 10．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝(　　 ) A．－3 B．2e C． D． 解析：选D　因为f′(1)为常数， 所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3， 所以f′(1)＝. 11．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x) ＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________． 解析：由题意，知f(2)＝2×2－1＝3， ∴g(2)＝4＋3＝7， ∵g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2， ∴g′(2)＝2×2＋2＝6， ∴曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0. 答案：6x－y－5＝0 12．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________． 解析：由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1， ∵h′(x)＝， ∴h′(5)＝ ＝＝. 答案： 13．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x). (1)求f(1)＋f′(1)； (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解， 即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0， 所以实数a的取值范围是(－∞，0). [素养拓展练] 14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3. 当x＝2时，y＝.∴f(2)＝，　① 又f′(x)＝a＋，f′(2)＝.　② 由①②得解得 故f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点， 由y′＝1＋知， 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为 ××|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且定值为6. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$