1.1.2 数列的函数特性 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.1.2 数列的函数特性 [课时跟踪检测] 1.若数列{an}满足an=3n，则数列{an}是 （　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析：选A　an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0， ∴an+1>an，即{an}是递增数列. 2.已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选A　因为an=-（n-2）2+6，n∈N+，所以当n=2时，an取得最大值. 3.已知数列{an}是递增数列，且通项公式为an=n2+λn，则实数λ的取值范围是 （　　） A. B.[0，+∞） C.[-2，+∞） D.（-3，+∞） 解析：选D　法一　由{an}是递增数列且an=n2+λn，得an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ>0对n∈N+恒成立，所以λ>[-（2n+1）]max，即λ>-3. 法二　由{an}是递增数列得-<，解得λ>-3. 4.函数y=f（x）的图象在下列图中并且对任意a1∈（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列{an}满足an+1>an，则该函数的图象是 （　　） 解析：选A　已知an+1=f（an）>an，故f（x）满足f（x）>x，即f（x）的图象在y=x的图象上方，故A正确. 5.已知数列{an}是递增数列，且an=则a的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　因为数列{an}是递增数列， 且an= 所以 解得<a<2，所以a的取值范围是. 6.设函数f（x）定义如下，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f（xn），则x2 025的值为 （　　） x 1 2 3 4 5 f（x） 4 1 3 5 2 A.1 B.2 C.4 D.5 解析：选B　由对任意自然数均有xn+1=f（xn），且x0=5，得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，所以数列{xn}是以4项为一个周期的周期数列，且前四项分别为2，1，4，5.所以x2 025=x506×4+1=x1=2. 7.[多选]已知欧拉函数φ（n）（n∈N+）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数.例如：φ（1）=1，φ（4）=2，设数列{an}中，an=φ（n）（n∈N+），则 （　　） A.数列{an}是递增数列 B.{an}的前8项中最大项为a7 C.当n为素数时，an=n-1 D.当n为偶数时，an= 解析：选BC　由题知数列{an}前8项为1，1，2，2，4，2，6，4，不是递增数列，故选项A错误；由选项A可知，{an}的前8项中最大项为a7=6，故选项B正确；当n为素数时，n与前n-1个数互素，故an=n-1，所以选项C正确；因为a6=2，故选项D错误. 8.[多选]已知数列{an}的通项公式为an=（-1）n·（n2+tn），若{a2n-1}为递减数列，{a2n}为递增数列，则t的可能取值为 （　　） A.-6 B.-4 C.-2 D.3 解析：选CD　当n为正偶数时，an=n2+tn，则an+2-an=4n+4+2t，因为{a2n}为递增数列，所以4n+4+2t>0对任意的正偶数n恒成立，则4×2+4+2t>0，解得t>-6；当n为正奇数时，an=-n2-tn，则an+2-an=-4n-4-2t，因为{a2n-1}为递减数列，所以-4n-4-2t<0对任意的正奇数n恒成立，则-4-4-2t<0，解得t>-4.所以t的取值范围是（-4，+∞），故t的可能取值为-2或3. 9.（5分）已知数列{an}的通项公式an=19-2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为　　　　.  解析：因为an=19-2n，且an>0，于是有19-2n>0，解得n<，而n∈N+，则nmax=9，所以符合条件的最大正整数n的值为9. 答案：9 10.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}的最大项是第　　　　项.  解析：an==，当n>5且n∈N+时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N+时，an<0，且数列递减.故当n=6时，an最大. 答案：6 11.（5分）已知数列{an}中，an=1+（n∈N+，a∈R且a≠0）.若对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，则a的取值范围为　　　　.  解析：由an=1+=1+，已知对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，令y=1+，函数在区间和上单调递减，结合函数的单调性可得5<<6，解得-10<a<-8，因此实数a的取值范围为（-10，-8）. 答案：（-10，-8） 12.（10分）已知数列{an}的通项公式an=n2-3n-28，画出该数列的图象，并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的. 解：列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 … 作图： 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始是递增的. 13.（10分）已知数列{an}的通项公式是an=（n+2）× （n∈N+），试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由. 解：法一　作差比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性.an+1-an=（n+3）×-（n+2）×=×. 当n<5时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=5时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>5时，an+1-an<0，即an+1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法二　作商比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. ==.又an>0， 令>1，解得n<5；令=1，解得n=5；令<1，解得n>5.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…， 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项， 则 即 解得即5≤n≤6. 故数列{an}有最大项a5或a6，且a5=a6=. 14.（10分）已知函数f（x）=（x∈R），设数列{an}的通项公式为an=f（n）（n∈N+）. （1）若an≥，求n的最小值；（4分） （2）若bn=an-，试判断{bn}的单调性.（6分） 解：（1）由题可知an=（n∈N+）， 若an≥，则an=≥， 解得n≥5，故n的最小值为5. （2）因为bn=an-=- =1--， 又n∈N+，所以2n≥2，≤， 所以1-≥. 令g（x）=x-， 取x1，x2∈（0，+∞），x1<x2， 则g（x1）-g（x2）=x1--=<0， 所以g（x1）<g（x2）， 所以g（x）=x-在（0，+∞）上单调递增， 所以bn=1--（n∈N+）是递增的， 即数列{bn}是递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 $