第1章 1 数列的概念及其函数特性 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

§1阶段综合 黑题 阶段强化 限时：45min 1.已知数列{an}满足：对于Hp,q∈N,均 图象是 有apg=a,ag,且a2=2,则a12= ( A.16 B.32 C.64 D.128 2.*(2025·江西抚州高二月考)若数列{an} B 的前四项依次为2,12,112,1112，则{an}的一 个通项公式为 ( A.an=10-1+2 B.a.=10+8 C D 9 7.*(2025·江西南昌二中高二月考)已知数 10”-8 C.an= 9 列{an}满足an 若对于 D.an=(n-1)(45n-80)+2 m-5(n≥6) 3.*(2025·河北衡水高二期末)在数列{an} 任意的n∈N,都有an>an1,则实数入的取值 中，若a1=3,an=n(an+1-an),则666是{an}的 范围是 ( A.第111项 B.第222项 A(o,2) C.第333项 D.第666项 4.*(2025·重庆八中高二月考)已知数列 分 n.(品 {an}满足a1=2,a2=3,an+2等于an+1·an的个 8.(2025·江苏苏州高二月考)ana+2=c 位数，则a2024= (Hn∈N*,c为非零常数)是数列{an}满足： A.2 B.4 () C.6 an=ant4(HneN)的 D.8 A.充分不必要条件 5.*(2025·江西上饶高二期中)已知{an}是 各项均为整数的递增数列，且a1>4,若a1+a2+ B.必要不充分条件 …tan=40,则n的最大值为 C.充要条件 ( A.5 B.6 D.非充分非必要条件 C.7 D.8 9.**(2025·江西南昌高二月考)若0n 6.*(2025·辽宁鞍山高二期中)一给定函数 （-1)(n2+m),且数列{a2-1}是递减数列，数 y=f(x)的图象在下列图象中，并且对任意的 列{a2n}是递增数列，则t的取值范围是()》 an∈(0,1)，由关系式a1=f(an)得到数列 A.（-8,+∞) B.（-6,+∞) {an}满足an+1<an(n为正整数)，则该函数的 C.(-4,+∞) D.(-2,+∞) 第一章黑白题03 10.人B教材习题（多选）（2025·湖北武汉 13.装(2025·江西萍乡高二期末)若递增数 高二月考)如图，已知直线l:y=x与曲线C: 列{an}的各项均是正整数，且满足a。,=3n, y=(兮)广，设P,为曲线C上横坐标为1的 则a1= ,a10+a11= 14.整(2025·辽宁大连高二期中)设数列 点.过P,作x轴的平行线交1于Q2,过Q2作 2 {an}满足：a1=1,aa1=an+2,n∈N. x轴的垂线交曲线C于P2;再过P2作x轴的 平行线交l于Q3,过Q3作x轴的垂线交曲线 (1)求证：an<an+1; C于P…设点P1,P2,…,Pn…的纵坐标分 (2)求证：W4n-3≤an≤√8n-7, 别为a1,a2,…,an,…,下列说法正确的是 1= Q.P 10 A.a=（ )月 B.a1=( 压轴挑战 C.a2025<a2024 D.la-an>la-an 11.*(2025·河南驻马店高二月考)数列 禁(2025·江西南昌高二月考)现定义：若 数列{k}为递减数列且{nk}也为递减数列， {(+3)(⑧广}的最大项为第k项，则k= 则{k}为“Y-数列”。 (1)已知：0，=（兮广，6=4，探究数列a, 12. *(2025·四川成都高二期中)冰雹猜想， 是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将 {bn}是否为“Y-数列”； 它乘3再加1；如果它是偶数，则将它除以2. (2)定义：1a,=a1·a2·a3·…·a,已知数 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤 后，必进入循环圈1→4→2→1.若取正整 列{a.}满足a,=na,a,≠0，求{a,}的 数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→ 通项并证明数列{an}为“Y-数列”. 5→16→8→4→2→1，共需要经过8个步骤变 成1（简称为8步“雹程”），已知数列{an}满 足：a1=m(m为正整数)，an+1 合当心为信数时， 若m=48,则使得 3an+1,当an为奇数时， an=1至少需要 步“雹程”；若ag= 1,则m所有可能取值的和为 选择性必修第二册·BS黑白题04[(分广-小号（分）”=-(})” <0,所以an+1<an, 即{an}是递减数列. 8.B解析：因为a2=a1-a,所以a+6=a5-an4=(a4 a+3）-an+4=-ant3=-（(ant2-an1)=-[(a1-an）-an+1]=an, 故数列{a}是周期为6的周期数列，而2025除以6余3，故 a22s=a3=a2-a1=1. 38 9.B解析：因为a1= a,+11a.5+5 1 -50.t35· 3 5 250.-15a=1,则a2=-18 8 525-15-1,4,=-1. 8 5-25-15 181 0,a42-50-153,4、1 8 525x-15 =1,a6=-5 3 8 25-15-1,…,以此类推，对VneN,a4=a,即数列{a, 是周期为4的数列，故a226=ax506+2=a2=-1. 10.2解析：利用a2=|an+1-an1,结合a1=a2=-2,依次迭代， 可得数列{an}的前n项依次为-2，-2,0,2,2,0,2,2，…，且 从第3项起以3为周期，所以a226-a2s=a4-a3=2. §1阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析：因为对于Vp,9∈N,均有apn=a,a,所以令p= 9=2,有a4=a2*2=a2a2=2×2=4,令p=q=4,有a8=a444= a4a4=4×4=16,令p=8,9=4,有a2=ag*4=aga4=16×4=64. 2.B解析：由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112= 1000-888,可得{a,的-个通项公式为a,=10- 9+ (10-1)=10+8 9 3.B解析：因为an=n(a+1-an),所以(n+1)an=na1,所以 只1所以只}是常数列，所以兰-导=3，则a,=3n 由3n=666,解得n=222. 4.D解析：因为a1a2=6,故a=6;因为a2a3=18,故a4=8;因 为aa4=48,故a5=8;因为a4a5=64,故a6=4;因为a5a6= 32,故a,=2;因为a6a,=8,故ag=8;因为a7ag=16,故ag=6; 因为agag=48,故a10=8;故前10项为2,3,6,8,8,4,2,8,6， 8,故数列{an}从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为 6,故a224=a36x6+8=ag=8. 5.A解析：要使n最大，则数列{an}的项要尽可能的小，注意 到a1≥5，a2≥6，依此类推，5+6+7+8+9=35<40,5+6+7+8+ 9+10=45>40,所以n的最大值为5. 6.B解析：由题意，对任意的an∈(0,1)，由关系式aa+1= f(an)得到数列{an}满足aa+1<a(n为正整数)，所以f(an)< an对任意an∈(0,1)恒成立，即Hx∈(0,1)，f(x)<x,于是 x∈(0,1)时，函数的图象都在y=x图象的下方. 7.B解析：要满足an>a+1,则数列an}是递减数列，则只需要 ( 2A<0, 7 满足0<入<1， 解得 2A<12 (分tx51 四易错提醒 根据分段形式的数列增减性求参数时，需要注意它和对应函数 的不同，数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数，所以对 于递减数列a.= b,n≤k,需满足的条件为a4>0u (c.n>k, 选择性必修第二册·BS 8.A解析：aGat72=c(Vn∈N,c为非零常数)，.at2· an=c(YnEN*),..anam2=amt2a4(YnEN"),..an=at (Vn∈N),anan+2=c是an=ant4的充分条件. _2,n为奇数，则a,=a(YneN),但a,a2=C 若a,=仁1，n为偶数， (HneN',c为非零常数)不成立，.不是必要条件 9.C解析：数列{a2-1}是递减数列，.当n为奇数时，a2 an<0,即-[(n+2)2+t(n+2)]-[-(n2+m)]<0,整理得，-4n- 4-2t<0,∴.2t>-4n-4,故2>(-4n-4)m:n=1时，(-4n 4)mr=-8,.2t>-8,即t>-4. :数列{a2n}是递增数列，.当n为偶数时，a*2-a,>0,即 (n+2)2+t(n+2)-(n2+m)>0,整理得，4n+4+2t>0,.2t> -4n-4,故2t>(-4n-4)m…':n=2时，(-4n-4)mx=-12, ∴.2>-12，即t>-6.综上得，t的取值范围是(-4，+∞). 10.AcD解析：对于A,点P(1,2)在曲线Cy=(分)】月 上，a=点0（分，2）点P(分（分）)，因此 4=(分)）户A正确；对于B,由选项A知，4=（行）门， (日)，（日）产)(（安），())) 4=传))-（传）户，以类能=（兮）广 a1=(分)广，B错误；对于C,设直线1与曲线C:y (兮)广的交点纵坐标为，观察图象知口<a<a,<…<, a2>a4>a6>…>x0,因此a2s<a24,C正确；对于D,由图 知，la2-a1l>la3-a21>|a4-a3l>…>|a.-an-1l,因此lan an-1l>la1-anl,D正确。 .5或6解析：数列{(a+3)()广} 的最大项为 】 +3)(g)广≥+2() 第k项， k+2 ≤ k+3 8≤+3，即5≤k≤6：k是正整数k=5或6， 9k+4' 12.11190解析：当m=48时，a,=m=48→a2=24→a3=12 →4=6，此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故 当m=48时，使得an=1至少需要11步“雹程”； 若ag=1,则a,=2,a6=4,则a5=1或a5=8. ①当a5=1时，a4=2,a3=4:i)a2=1,a1=2;i)a2=8, a1=16; ②当a,=8时，a4=16,a3=5或a3=32:i)a2=10,a1=3或 a1=20;i)a2=64,a1=21或a1=128; ∴ag=1,m所有可能的取值集合为{2,3,16,20,21,128}， .m所有可能取值的和为2+3+16+20+21+128=190. 13.239解析：由已知得a,=3.若a=1,则有a1=3,矛盾； 若a1=k≥3，则a4=aa,=3≤a1,与{a.}递增矛盾；故a1=2. 因为a1=2,则a2=a,=3,a3=a2=6,所以a6=a3=9,a,= a6=18. 又a3<a4<a5<a6,即6<a4<a5<9,所以a4=7,a5=8, 则a,=a4=12,a12=aa,=21.又ag<a1o<a<a2,即18<a1o< 黑白题02 a1<21, 所以a10=19,a1=20,所以a1o+a11=39. 14.证明：(1)由已知条件可知an与a+1同号且a1=1>0,故an> 0子0放a+子所以a,o(neN)度立 a (2)因为an<a1(neN*),故a1>an≥1，则a1-a= +)e-4e. a。 当n≥2时，a2=(a2-a21)+(a1-a-2)++(a-a)+a∈ (4n-3,8n-7], 所以当n≥2时，√4n-3<an≤√8m-7,且当n=1时， v4x1-3=a1=√8×1-7. 所以当n∈N'时，√4n-3≤an≤v√8n-7. 压轴挑战 解：(1)因为a.=(兮广，所以a,是递减数列，m, 广 (传（ n一，而n 号a+10=（2-10>0,断以>1，即ama na。一>1，所 3(n+1) 以nan>(n+1)a+1,所以{na.}是递减数列，所以数列{an}是 “Y-数列”. 因为bn=4-n,所以{bn}是递减数列，nbn=4n-n2,其中b1=4× 1-12=3,2b2=4×2-22=4,则b1<2b2,所以{nb}不是递减数列， 所以数列{bn}不是“Y-数列”. (2)因为1ia:=n2an,所以a1·2a2·…·(n-1)an-1·nan= n2an,① 当n≥2时，a1·2a2·…·(n-1)an-1=(n-1)2an-1,② nan 由①÷②，得na.(n-1)2a 又a0.所以a10所 以当n≥1时，4=n n2 n+1 因为当≥2时，==n+1.-l)=-n2-n+1<1, an-1 n (n-1)2 所以an<an-1,数列{an}是递减数列. +”-1+,所以数列1a,也是递减数列，故数列 因为na,=n n {an}是“Y-数列”. §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 白题基础过关 1c得折：对于A分=石行号古因为名 6 2,所以A不是等差数列对于B,g6-g5=lg9,lg7-lg6= g石，因为号≠g名所以B不是等差数列，对于C,了 7 1号名日所以c是等差数列：对于D,3-2=1,5 参考答案 3=2,因为1≠2，所以D不是等差数列.故选C. 2.B解析：由数列{an}的通项公式an=n+b,得{an}是等差 数列，且an-an-1=m+b-k(n-1)-b=k,故公差为k,故选B. 3.ACD解析：设等差数列{an}的公差为d,对于A,a+1+3 (an+3)=a+1-an=d,为常数，因此{an+3}是等差数列， 故A正确；对于B,a1-a=d(a+1+an)=d[2a1+(2n-1)d], 不为常数，因此{a2}不是等差数列，故B错误；对于C, (an+2+a1）-(aa1+an)=a2-an=2d,为常数，因此{a1t an}是等差数列，故C正确；对于D,2an1+(n+1)-（2an+ n)=2(a*1-an)+1=2d+1,为常数，因此{2an+n}是等差数 列，故D正确.故选ACD 4.B解析：因为b为a,c的等差中项，所以6=a+c=5. 2 5.C解析：因为A,B,C成等差数列，所以A+C=2B.又A+B+ C=m,解得B=写，所以21+820=5B= 3 3 6.4 解析：因为a1,a7为方程2x2-3x-9=0的两根，所以a+ 4=2,而a,+0,=24=号解得4，=子 3 7.B解析：数列4,6,8，…的通项公式为an=2n+2,则2n+2= 2000,解得n=999. 8.D解析：设16个数对应公差为d的等差数列{a.}的前 16项，则由题意可知，a1=1,a16=31,故a16-a1=15d=30,解 得d=2. 9.A解析：设数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a6=a3+ 9,所以a1+5d=a1+2d+9,即5d=2d+9,解得d=3.因为2a2= a5-1,所以2(a1+3)=a1+12-1,解得a1=5,则an=5+3(n- 1)=3n+2,故A正确. 10.B解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d,其中d≠0， 因为a1=1,且a2ag=a3a5,可得(1+d)(1+7d)=(1+2d)· (1+4d),解得d=2,所以a20=a1+19d=1+19×2=39. 11. 2171 220'66J 解析：依题意，a,=a,+(n-1)d= 2+(n-1)d, 由{a.}从第11项起比1大，得ao≤1，即 (am>1, 1 +9d≤1， 22 解得21 +10d1, 20<d≤66，所以公差d的取值范围是 22 /2171 220'66」 12.C解析：由等差数列的性质可得a2+ag=2a5=10,则a5= 5,故d=a5-a4=5-4=1. 13.B解析：由等差数列的性质得，a3ta6+a1o+as=(a3+a13)+ （a6+a1o)=2ag+2ag=4ag=32,.ag=8.又d≠0，.m=8.故 选B. 14.B解析：因为{an}是等差数列，所以a1+a4+a,a2+a5+as, a3+a6+a,也成等差数列，则a1+a4+a,+a3+a6+a,=2(2+ a+ag),所以a3+a6+ag=2(a2+a5+ag）-(a1+a4+a,）= 2×21-15=27. 15.ABD解析：因为数列{an}为等差数列，所以a1+a2+…+ a16=8(a1+a16)=0.又因为a1>0,所以a16<0,所以d<0.ag+ ag=a1+a16=0,a2ta1=a1+a16+2d=0+2d<0,故ABD正确. 16.10解析：因为a1+a2+…+a11=(a1+a)+(a2+a1o)++ (a5+a,)+a6=11a6=22,所以a6=2,所以a2+a4+a6+ag+ a10=(a2+a1o)+(a4+ag）+a6=5a6=5x2=10. 17.36解析：因为a5+ag=a2+a1,所以a11-a5=ag-a2=9,因 黑白题03