第一章 专题微课 构造法求数列通项公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

第一章 专题微课 构造法求数列通项公式 [课时跟踪检测] 1.若数列{an}满足an=4an-1+3（n≥2）且a1=0，则此数列第5项是 （　　） A.15 B.255 C.16 D.63 解析：选B　∵an=4an-1+3（n≥2），∴an+1=4（an-1+1）（n≥2），∴{an+1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1，∴a5=44-1=255.故选B. 2.在数列{an}中，a1=2，an+1=（n∈N+），则a20= （　　） A. B. C. D. 解析：选B　因为an+1=，则==+1，又=，故是首项为，公差为1的等差数列.=+n-1=n-，an=，a20=.故选B. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1=an+2+1，则a5+S4= （　　） A.39 B.45 C.50 D.55 解析：选C　∵an+1=an+2+1，∴an+1+1=，∴=+1，即-=1，∴数列{}是公差为1，首项为=1的等差数列，∴=n，an=n2-1.a1=0，a2=3，a3=8，a4=15，a5=24，S4=0+3+8+15=26，∴a5+S4=24+26=50. 4.已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为 （　　） A.10 B.12 C.16 D.18 解析：选D　由an+1=10可得an>0，则lg an+1=lg（10）=2lg an+1，故lg an+1+1=2（lg an+1），又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则lg an+1=2n，故an=1.由as·at=a10，得1·1=1=1，故2s+2t=210，则210≥2=2=，故+1≤10，解得0<s+t≤18，当且仅当s=t=9时取等号，故s+t的最大值为18.故选D. 5.（5分）若正项数列{an}满足a1=2，=4+4an+1，则数列{an}的通项公式是　　　　.  解析：在正项数列{an}中，=4+4an+1=（2an+1）2，则有an+1=2an+1，于是得an+1+1=2（an+1），而a1+1=3，因此数列{an+1}是首项为3，公比为2的等比数列，则有an+1=3×2n-1，即an=3×2n-1-1，所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1. 答案：an=3×2n-1-1 6.（5分）在数列{an}中，a1=1，且an+1=an+3n+1，则通项公式an=　　　　.  解析：∵an+1=an+3n+1，∴an+1-（n+1）2+=an-n2+，∴数列为常数列，又a1=1，则a1-+=0，∴an=n2-. 答案：n2- 7.（5分）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N），则an=　　　　.  解析：由题设，=+（n≥2），即-=（n≥2），而=，∴是首项、公差均为的等差数列，即=+（n-1）=，∴an=n·2n-1. 答案：n·2n-1 8.（5分）已知数列{an}满足a1=1，3an+1an=an-an+1，则通项公式an=　　　　.  解析：∵3an+1an=an-an+1， ∴-=3，且=1， ∴是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴=1+（n-1）·3=3n-2， ∴an=. 答案： 9.（5分）已知数列{an}的首项是a1=1，且an+1=，则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  解析：由an+1=，即（n+1）an+1=nan，故数列{nan}为常数列，a1=1，即nan=1，an=. 答案：an= 10.（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的n∈N+，都有=3an+1-2an，则数列{an}的通项公式为　　　　.  解析：由=3an+1-2an， 得-an+1=2（an+1-an）. 又a1=1，a2=3，所以a2-a1=2≠0， 所以{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1-an=2n， 所以an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n-1=2n-1，n≥2， 因为a1=1符合上式， 所以an=2n-1. 答案：an=2n-1 11.（10分）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，3Sn=an+1-+2（n∈N+）. （1） n∈N+时，写出an+1与an之间的递推关系；（6分） （2）求{an}的通项公式.（4分） 解：（1）因为3Sn=an+1-2n+2+2　①， 所以当n≥2时，3Sn-1=an-2n+1+2　②， ①-②得3an=an+1-an-2n+1（n≥2）， 即an+1=4an+2n+1（n≥2）， 在①中，令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22，也符合上式，所以an+1=4an+2n+1. （2）因为an+1=4an+2n+1，则an+1+2n+1=4（an+2n），且a1+2=4≠0， 所以数列{an+2n}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an+2n=4n，故an=4n-2n. 12.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3，n∈N+. （1）求S9的值；（5分） （2）求数列{an}的通项公式.（10分） 解：（1）因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3， 所以Sn+2+Sn+1=2（n+1）2+6（n+1）+3. 两式相减，得an+2+an+1=4（n+2），n∈N+. 所以S9=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a8+a9）=3+4[（1+2）+（3+2）+…+（7+2）] =3+4×=99. （2）由（1）知an+2+an+1=4（n+2）①，可得an+an+1=4（n+1）②，n≥2. 因为a1=3，S2+S1=11， 所以a2=5，又S3+S2=23=2a1+2a2+a3， 所以a3=7.又由①②得an+2-an=4，n≥2. 所以a2n=a2+4（n-1）=4n+1，即an=2n+1，n为偶数，则当n≥3，且为奇数时，an=4（n+1）-an+1=4（n+1）-[2（n+1）+1]=2n+1， 又a1=3，a3=7符合上式，综上得an=2n+1. 13.（15分）在数列{an}中， a1=4且 an+1=，求数列{an}的通项公式. 解：由an+1=两边减去1得， an+1-1=-1=， 两边取倒数得，===+·， 两边同加得，+=+·=·， 由a1=4，则+=≠0， 所以有=， 故是以为首项，为公比的等比数列. 所以+=·， 故an-1=， 解得an=. 学科网（北京）股份有限公司 $